ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 46 — Funções (Interseções com reta)
Seja \(S\) o subconjunto do plano cartesiano constituído pela união dos gráficos das funções
\(f(x)=2^x\), \(g(x)=2^{-x}\) e \(h(x)=\log_{2} x\) (com \(x>0\)).
Para cada \(k>0\), seja \(n\) o número de interseções da reta \(y=kx\) com \(S\).
Podemos afirmar que:
a) \(n\neq 1\) para todo \(k>0\).
b) \(n=2\) para pelo menos três valores distintos de \(k\).
c) \(n=2\) para exatamente dois valores distintos de \(k\).
d) \(n\neq 3\) para todo \(k>0\).
e) O conjunto dos \(k>0\) para os quais \(n=3\) é a união de dois intervalos disjuntos.
b) \(n=2\) para pelo menos três valores distintos de \(k\).
c) \(n=2\) para exatamente dois valores distintos de \(k\).
d) \(n\neq 3\) para todo \(k>0\).
e) O conjunto dos \(k>0\) para os quais \(n=3\) é a união de dois intervalos disjuntos.
👀 Solução passo a passo
Esboçando os gráficos no 1º quadrante:
\(f(x)=2^x\) é crescente e convexa; \(g(x)=2^{-x}\) é decrescente; \(h(x)=\log_{2}x\) é
crescente e côncava. Para uma reta \(y=kx\) com \(k>0\):
- \(y=kx\) corta \(g(x)=2^{-x}\) sempre em um único ponto (uma é crescente e a outra decrescente).
- Ao variar \(k\), é possível escolher retas que ainda cortem exatamente um dos outros dois gráficos (\(f\) ou \(h\)), totalizando duas interseções com o conjunto \(S\). O esboço abaixo (como no enunciado original) mostra três inclinações distintas \(k_1,k_2,k_3\) que realizam isso.
Resposta: b) \(n=2\) para pelo menos três valores distintos de \(k\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 45 — 1ª Fase
