ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 50 — Geometria Plana (Quadriláteros)
Seja \(ABCD\) um quadrilátero convexo com diagonais \(AC\) e \(BD\). Considere as afirmações:
I. Se as diagonais \(AC\) e \(BD\) têm mesmo comprimento e se intersectam ortogonalmente, então \(ABCD\) é um losango.
II. Se as diagonais \(AC\) e \(BD\) dividem o quadrilátero em quatro triângulos de mesma área, então \(ABCD\) é um paralelogramo.
III. Se o ponto de interseção das diagonais \(AC\) e \(BD\) é o centro do círculo que circunscreve o quadrilátero \(ABCD\), então \(ABCD\) é um retângulo.
É(são) VERDADEIRA(S):
I. Se as diagonais \(AC\) e \(BD\) têm mesmo comprimento e se intersectam ortogonalmente, então \(ABCD\) é um losango.
II. Se as diagonais \(AC\) e \(BD\) dividem o quadrilátero em quatro triângulos de mesma área, então \(ABCD\) é um paralelogramo.
III. Se o ponto de interseção das diagonais \(AC\) e \(BD\) é o centro do círculo que circunscreve o quadrilátero \(ABCD\), então \(ABCD\) é um retângulo.
É(são) VERDADEIRA(S):
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) apenas II e III.
👀 Solução passo a passo
I) Falsa. Ter diagonais de mesmo comprimento e perpendiculares não caracteriza losango.
Para ser losango é necessário que as diagonais se bisectem (cortem-se nos pontos médios). É possível construir
um quadrilátero convexo com diagonais perpendiculares e congruentes que não se cortam nos pontos médios, logo não é losango.
II) Verdadeira. Se as quatro partes determinadas pelas diagonais têm a mesma área, então os dois triângulos formados por uma mesma diagonal possuem áreas iguais. Em um quadrilátero convexo, isso ocorre se e somente se a interseção das diagonais é o ponto médio de cada uma delas (cada triângulo adjacente à mesma diagonal tem bases iguais na diagonal). Logo, as diagonais se bissetam e \(ABCD\) é um paralelogramo.
III) Verdadeira. Sendo \(O=AC\cap BD\) o centro da circunferência circunscrita, as retas que passam por \(O\) e unem dois pontos da circunferência são diâmetros. Assim, \(AC\) e \(BD\) são diâmetros do círculo. Pelo Teorema de Tales, todo ângulo subtendido por um diâmetro é reto; portanto, os quatro ângulos internos de \(ABCD\) são retos, e o quadrilátero é um retângulo.
II) Verdadeira. Se as quatro partes determinadas pelas diagonais têm a mesma área, então os dois triângulos formados por uma mesma diagonal possuem áreas iguais. Em um quadrilátero convexo, isso ocorre se e somente se a interseção das diagonais é o ponto médio de cada uma delas (cada triângulo adjacente à mesma diagonal tem bases iguais na diagonal). Logo, as diagonais se bissetam e \(ABCD\) é um paralelogramo.
III) Verdadeira. Sendo \(O=AC\cap BD\) o centro da circunferência circunscrita, as retas que passam por \(O\) e unem dois pontos da circunferência são diâmetros. Assim, \(AC\) e \(BD\) são diâmetros do círculo. Pelo Teorema de Tales, todo ângulo subtendido por um diâmetro é reto; portanto, os quatro ângulos internos de \(ABCD\) são retos, e o quadrilátero é um retângulo.
Resposta: e) apenas II e III.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 49 — 1ª Fase
