ITA 2022 — 2ª Fase — Questão 3 — Sequências e Matrizes
Seja \(A\) a matriz com \(5\) linhas e \(10\) colunas cujas entradas \(a_{n,m}\) são dadas por
\[
a_{n,m}=
\begin{cases}
1, & \text{se } m=1,\\[4pt]
n+a_{n,m-1}, & \text{se } m>1.
\end{cases}
\]
Determine a soma de todas as entradas de \(A\).
👀 Solução passo a passo
1) Fechamento da recorrência na linha \(n\):
Para \(m>1\), \[ a_{n,m}=n+a_{n,m-1}=n+\big(n+a_{n,m-2}\big)=\cdots = n(m-1)+a_{n,1}. \] Como \(a_{n,1}=1\), obtemos \[ \boxed{\,a_{n,m}=n(m-1)+1\,}\quad (n=1,\ldots,5;\; m=1,\ldots,10). \]
2) Soma dos elementos da linha \(n\):
\[ S_n=\sum_{m=1}^{10}\big(n(m-1)+1\big) =n\sum_{m=1}^{10}(m-1)+10 =n\cdot 45+10=45n+10, \] pois \(\sum_{m=1}^{10}(m-1)=0+1+\cdots+9=45\).
3) Soma total da matriz:
\[ S=\sum_{n=1}^{5}S_n=\sum_{n=1}^{5}(45n+10) =45\sum_{n=1}^{5}n+5\cdot10 =45\cdot15+50 =725. \]
Para \(m>1\), \[ a_{n,m}=n+a_{n,m-1}=n+\big(n+a_{n,m-2}\big)=\cdots = n(m-1)+a_{n,1}. \] Como \(a_{n,1}=1\), obtemos \[ \boxed{\,a_{n,m}=n(m-1)+1\,}\quad (n=1,\ldots,5;\; m=1,\ldots,10). \]
2) Soma dos elementos da linha \(n\):
\[ S_n=\sum_{m=1}^{10}\big(n(m-1)+1\big) =n\sum_{m=1}^{10}(m-1)+10 =n\cdot 45+10=45n+10, \] pois \(\sum_{m=1}^{10}(m-1)=0+1+\cdots+9=45\).
3) Soma total da matriz:
\[ S=\sum_{n=1}^{5}S_n=\sum_{n=1}^{5}(45n+10) =45\sum_{n=1}^{5}n+5\cdot10 =45\cdot15+50 =725. \]
Resposta final: \(\displaystyle 725\).
