ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 49 — Geometria Espacial
Seja \(P\) uma pirâmide regular cujo vértice \(V\) é um dos vértices de um cubo de lado \(\ell\) e cuja base é o hexágono formado pelos pontos médios das seis arestas do cubo que não contêm \(V\) nem o vértice oposto a \(V\). O raio da esfera que circunscreve \(P\) é
a) \(\dfrac{\ell\sqrt{2}}{12}\).
b) \(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{12}\).
c) \(\dfrac{5\ell\sqrt{2}}{12}\).
d) \(\dfrac{5\ell\sqrt{3}}{12}\).
e) \(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{6}\).
b) \(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{12}\).
c) \(\dfrac{5\ell\sqrt{2}}{12}\).
d) \(\dfrac{5\ell\sqrt{3}}{12}\).
e) \(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{6}\).
👀 Solução passo a passo
1) Aresta da base do hexágono:
Os vértices da base são pontos médios de arestas coplanares do cubo; dois vértices adjacentes estão em arestas perpendiculares, separadas por \(\ell/2\) em cada direção. Logo o lado do hexágono é a diagonal desse quadrado de lado \(\ell/2\): \[ a=\sqrt{\left(\frac{\ell}{2}\right)^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2} =\frac{\ell\sqrt{2}}{2}. \]2) Altura da pirâmide:
O centro da base é o ponto médio do quadrado central do cubo; a distância \(VH\) (altura \(h\)) é metade da diagonal espacial do cubo: \[ h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}. \]3) Raio da esfera circunscrita:
A secção pelo plano que contém o eixo \(VH\) e um vértice \(M\) do hexágono é um triângulo retângulo \(OHM\) do círculo gerado pela esfera (centro \(O\), raio \(R\)) passando por \(V\) e \(M\). No hexágono regular, o raio circunferente é \(HM=a\). Além disso, \(OH=h-R\) (o centro \(O\) está sobre o eixo \(VH\)). Pelo Teorema de Pitágoras: \[ (OM)^2=(OH)^2+(HM)^2 \ \Longrightarrow\ R^{2}=(h-R)^{2}+a^{2}. \] Substituindo \(h=\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\) e \(a=\dfrac{\ell\sqrt{2}}{2}\): \[ R^{2}=\left(\frac{\ell\sqrt{3}}{2}-R\right)^{2} +\left(\frac{\ell\sqrt{2}}{2}\right)^{2} \ \Longrightarrow\ 0=-\ell\sqrt{3}\,R+\frac{5\ell^{2}}{4}. \] Assim, \[ R=\frac{5\ell^{2}}{4\,\ell\sqrt{3}} =\frac{5\ell\sqrt{3}}{12}. \]
Os vértices da base são pontos médios de arestas coplanares do cubo; dois vértices adjacentes estão em arestas perpendiculares, separadas por \(\ell/2\) em cada direção. Logo o lado do hexágono é a diagonal desse quadrado de lado \(\ell/2\): \[ a=\sqrt{\left(\frac{\ell}{2}\right)^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2} =\frac{\ell\sqrt{2}}{2}. \]2) Altura da pirâmide:
O centro da base é o ponto médio do quadrado central do cubo; a distância \(VH\) (altura \(h\)) é metade da diagonal espacial do cubo: \[ h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}. \]3) Raio da esfera circunscrita:
A secção pelo plano que contém o eixo \(VH\) e um vértice \(M\) do hexágono é um triângulo retângulo \(OHM\) do círculo gerado pela esfera (centro \(O\), raio \(R\)) passando por \(V\) e \(M\). No hexágono regular, o raio circunferente é \(HM=a\). Além disso, \(OH=h-R\) (o centro \(O\) está sobre o eixo \(VH\)). Pelo Teorema de Pitágoras: \[ (OM)^2=(OH)^2+(HM)^2 \ \Longrightarrow\ R^{2}=(h-R)^{2}+a^{2}. \] Substituindo \(h=\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\) e \(a=\dfrac{\ell\sqrt{2}}{2}\): \[ R^{2}=\left(\frac{\ell\sqrt{3}}{2}-R\right)^{2} +\left(\frac{\ell\sqrt{2}}{2}\right)^{2} \ \Longrightarrow\ 0=-\ell\sqrt{3}\,R+\frac{5\ell^{2}}{4}. \] Assim, \[ R=\frac{5\ell^{2}}{4\,\ell\sqrt{3}} =\frac{5\ell\sqrt{3}}{12}. \]
Resposta: d) \(\displaystyle \frac{5\ell\sqrt{3}}{12}\).
