ITA 2022 — 2ª Fase — Questão 5 — Trigonometria (Funções Inversas)
Considere \(arccos:[-1,1]\to[0,\pi]\) e \(arcsen:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]\).
Determine todos os valores de \(arccos(x)\) tais que \(x\) satisfaz
\[
arccos(x^{4})+arcsen\!\left(x^{2}-\frac14\right)=\frac{\pi}{2}.
\]
👀 Solução passo a passo
Da igualdade,
\[
arccos(x^{4})=\frac{\pi}{2}-arcsen\!\left(x^{2}-\frac14\right).
\]
Aplicando \(\cos\) em ambos os lados e usando \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=sen\theta\):
\[
x^{4}=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-arcsen\!\left(x^{2}-\frac14\right)\right)
=sen\!\left(arcsen\!\left(x^{2}-\frac14\right)\right)
=x^{2}-\frac14.
\]
Logo,
\[
4x^{4}-4x^{2}+1=0\quad\Longrightarrow\quad (2x^{2}-1)^{2}=0
\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac12.
\]
Assim, \(x=\pm \dfrac{\sqrt2}{2}\).
Finalmente, \[ arccos\!\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\pi}{4} \qquad\text{e}\qquad arccos\!\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4}. \]
Finalmente, \[ arccos\!\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\pi}{4} \qquad\text{e}\qquad arccos\!\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4}. \]
Resposta final: \(\displaystyle arccos(x)\in\left\{\frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4}\right\}.\)
