ITA 2022 — 2ª Fase — Questão 8 — Geometria Plana (Quadrilátero Cíclico)
Seja \(Q\) um quadrilátero de vértices \(A,B,C,D\) com lados
\(m(\overline{AB})=5=m(\overline{CD})\), \(m(\overline{BC})=3\) e \(m(\overline{DA})=8\).
Sabendo que \(Q\) é inscrito em uma circunferência de raio \(r\), determine \(r\).
👀 Solução passo a passo
Como \(Q\) é cíclico, ângulos opostos são suplementares. Seja
\(\widehat{BAD}=\theta\) e então \(\widehat{BCD}=180^\circ-\theta\).
Aplique a Lei dos Cossenos nos triângulos \(ABD\) e \(BCD\) para a diagonal \(BD\).
1) No \(\triangle ABD\): \[ BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2\cdot AB\cdot AD\cos\theta =5^{2}+8^{2}-2\cdot5\cdot8\cos\theta =89-80\cos\theta. \] 2) No \(\triangle BCD\): \[ BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-2\cdot BC\cdot CD\cos(180^\circ-\theta) =3^{2}+5^{2}-2\cdot3\cdot5(-\cos\theta) =34+30\cos\theta. \] Igualando: \[ 89-80\cos\theta=34+30\cos\theta \;\Rightarrow\; 55=110\cos\theta \;\Rightarrow\; \cos\theta=\frac12. \] Logo \(\theta=60^\circ\) (pois \(7^2<8^2+5^2\) e o ângulo é agudo). Substituindo em qualquer expressão: \[ BD^{2}=34+30\cdot\frac12=49 \;\Rightarrow\; BD=7. \]
3) Raio da circunferência circunscrita.
No \(\triangle ABD\), o lado \(BD\) se opõe ao ângulo \(\theta\); pela relação \(a/\sin A=2r\), \[ \frac{BD}{\sin\theta}=2r \;\Rightarrow\; 2r=\frac{7}{\sin60^\circ}=\frac{7}{\sqrt3/2} =\frac{14}{\sqrt3}. \] Portanto, \[ r=\frac{7}{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}{3}. \]
1) No \(\triangle ABD\): \[ BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2\cdot AB\cdot AD\cos\theta =5^{2}+8^{2}-2\cdot5\cdot8\cos\theta =89-80\cos\theta. \] 2) No \(\triangle BCD\): \[ BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-2\cdot BC\cdot CD\cos(180^\circ-\theta) =3^{2}+5^{2}-2\cdot3\cdot5(-\cos\theta) =34+30\cos\theta. \] Igualando: \[ 89-80\cos\theta=34+30\cos\theta \;\Rightarrow\; 55=110\cos\theta \;\Rightarrow\; \cos\theta=\frac12. \] Logo \(\theta=60^\circ\) (pois \(7^2<8^2+5^2\) e o ângulo é agudo). Substituindo em qualquer expressão: \[ BD^{2}=34+30\cdot\frac12=49 \;\Rightarrow\; BD=7. \]
3) Raio da circunferência circunscrita.
No \(\triangle ABD\), o lado \(BD\) se opõe ao ângulo \(\theta\); pela relação \(a/\sin A=2r\), \[ \frac{BD}{\sin\theta}=2r \;\Rightarrow\; 2r=\frac{7}{\sin60^\circ}=\frac{7}{\sqrt3/2} =\frac{14}{\sqrt3}. \] Portanto, \[ r=\frac{7}{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}{3}. \]
Resposta final: \(\displaystyle r=\frac{7\sqrt3}{3}\).
