Confira a resolução detalhada de uma questão típica da banca VUNESP. Entenda o método e prepare-se para suas provas com confiança.
(Banca VUNESP – Nível Superior – 2023 – Análise Combinatória) Para realizar uma excursão com suas três turmas, que possuem 25, 30 e 50 alunos, respectivamente, o professor Felix vai dividir os seus alunos em grupos, todos com a mesma quantidade de estudantes, sem misturar alunos de turmas diferentes em um mesmo grupo. Ademais, quer que os grupos tenham a maior quantidade possível de alunos. Feita a divisão nessas condições, o número total de grupos que terá formado para a referida excursão será igual a
A) 20.
B) 21.
C) 22.
D) 23.
E) 24.
Ver Solução
Entendendo o enunciado
O problema envolve divisão em grupos homogêneos, de forma que:
- Todos os grupos tenham o mesmo número de alunos.
- Não haja mistura de alunos de turmas diferentes em um mesmo grupo.
- Cada turma seja dividida em grupos com a maior quantidade possível de alunos.
Devemos calcular o número total de grupos formados.
Resolução
Determinar o maior número de alunos por grupo:
Para que o número de alunos por grupo seja o maior possível, esse número deve ser o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números de alunos das três turmas: 25, 30 e 50.
Calculando o MDC:
Fatoração de 252: 25=52
Fatoração de 30: 30=2⋅3⋅5
Fatoração de 5050: 50=2⋅52
O MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente:
MDC(25,30,50)=5
Portanto, cada grupo terá 5 alunos.
Determinar o número de grupos em cada turma:
Para a turma com 25 alunos:
Número de grupos = 25/5 = 5 grupos
Para a turma com 30 alunos:
Número de grupos = 30/5 = 6 grupos
Para a turma com 50 alunos:
Número de grupos = 50/5 = 10 grupos
Número total de grupos:
Soma dos grupos:
Total de grupos = 5+6+10 = 21
Resposta final
O número total de grupos formados será 21.
Alternativa correta: B) 21.
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