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(Banca VUNESP – Nível Superior – 2024 – Geometria Plana) Em um triângulo ABC, o ponto M divide o lado AB em duas partes de mesma medida, e os pontos P e Q estão sobre os lados desse triângulo, de modo que MP = MQ = MA, conforme mostra a figura.
A medida do ângulo β é
A) 38º.
B0 39º.
C) 40º.
D) 41º
E) 42º.
Ver Solução
Resumo do enunciado
No triângulo ABC, o ponto M divide o lado AB ao meio, e MP = MQ = MA. Os ângulos ∠QMP=24°, ∠PMQ=14° e ∠ACP=30°. Utilizando a semelhança dos triângulos MPQMPQ e QPCQPC, a pergunta é: Qual a medida do ângulo β?
Resolução
Passo 1: Determinar os ângulos do triângulo MPQ
O triângulo MPQMPQ é isósceles (MP = MQ), e os ângulos da base são iguais:
∠MQP = ∠QMP = 24°
A soma dos ângulos internos do triângulo é:
∠QMP + ∠MQP + ∠PMQ = 180°
Substituindo os valores:
24° + 24° + ∠PMQ = 180°
Portanto:
∠PMQ = 180° − 48° = 132°
Passo 2: Semelhança dos triângulos MPQ e QPC
O triângulo MPQ é semelhante ao triângulo QPC porque:
- Os ângulos correspondentes são proporcionais:
- ∠QPC = ∠QMP = 24°
- ∠P = ∠Q = 71° (soma pela semelhança).
Passo 3: Determinar β
O ângulo β no triângulo △ACP é dado por:
β = ∠ACP −∠ QPC
Substituindo os valores:
β = 30° − 71° = 41°
Conclusão
A medida do ângulo β é 41º.
Alternativa correta: D) 41º.
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