Matemática para Concursos: Sistema de Equações – Banca VUNESP – Nível Médio

Sistemas Lineares – Problemas com Idades

Entendendo o enunciado

Hoje, a soma das idades de um pai e de seu filho é 50 anos. Daqui a 5 anos, a idade do filho será 1/5 da idade do pai. A questão pede a idade do pai quando o filho nasceu.

Passo a passo da resolução

1. Definição das variáveis:

• ( x ): idade atual do pai.
• ( y ): idade atual do filho.
• De acordo com o enunciado:
  
  x + y = 50 equação (1)
  

1. Relação entre as idades daqui a 5 anos:

• Daqui a 5 anos, a idade do filho será 1/5 da idade do pai:
  
  y + 5 = 1/5(x + 5) equação (2)
  

1. Resolvendo o sistema de equações:

• Substituímos ( y = 50 – x ) (obtido da equação 1) na equação (2):
  
  (50 – x) + 5 = 1/5(x + 5).
  
• Simplificando:
  
  55 – x = (x + 5)/5
  .
• Eliminamos o denominador multiplicando toda a equação por 5:
  
  5(55 – x) = x + 5.
  .
• Expandindo e simplificando:
  
  275 – 5x = x + 5.
  
  275 – 5 = 6x.
  
  270 = 6x ⇒ x = 45.
  

1. Idade do filho hoje:

• Substituímos ( x = 45 ) na equação ( x + y = 50 ):
  
  45 + y = 50 ⇒ y = 5.
  .

1. Idade do pai quando o filho nasceu:

• Quando o filho nasceu, o pai tinha:
  
  x – y = 45 – 5 = 40.
  

Resposta final

A idade do pai quando o filho nasceu era 40 anos.

Alternativa correta: A) 40 anos.

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