Matriz Simétrica
Definição \(A=A^{\top}\), propriedades essenciais, exemplo resolvido e exercícios com gabarito.
Definição
Seja \(A=[a_{ij}]_{n\times n}\) uma matriz quadrada. Dizemos que \(A\) é simétrica se, e somente se, para todo \(i,j\):
\[ a_{ij}=a_{ji}\quad \Longleftrightarrow \quad A=A^{\top}. \]
\[ a_{ij}=a_{ji}\quad \Longleftrightarrow \quad A=A^{\top}. \]
Propriedades importantes
- Quadrada: toda matriz simétrica é necessariamente \(n\times n\).
- Diagonal sempre simétrica: matrizes diagonais são casos particulares de simétricas.
- Soma e diferença: se \(A\) e \(B\) são simétricas (mesma ordem), então \(A\pm B\) também são.
- Escalar: para qualquer \(k\in\mathbb{R}\), \(kA\) é simétrica.
- Inversa: se \(A\) é simétrica e invertível, então \(A^{-1}\) é simétrica, pois \((A^{-1})^{\top}=(A^{\top})^{-1}=A^{-1}\).
- Autovalores reais (quando \(A\) é real): matrizes reais simétricas possuem autovalores reais e são diagonalizáveis por matriz ortogonal.
Exemplo rápido
A = ⎡ -3 0 5 ⎤
⎢ 0 1 6 ⎥
⎣ 5 6 3 ⎦
Aᵗ= ⎡ -3 0 5 ⎤
⎢ 0 1 6 ⎥
⎣ 5 6 3 ⎦
Como \(A=A^{\top}\), a matriz é simétrica.
Exercícios (múltipla escolha)
1) A matriz \(M=\begin{bmatrix}2&3&1\\3&5&0\\1&0&4\end{bmatrix}\) é:
- Simétrica
- Anti-simétrica
- Diagonal
- Idempotente
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Temos \(m_{ij}=m_{ji}\) para todos \(i,j\). Logo é simétrica. Alternativa a.
2) Para que \(N=\begin{bmatrix}x&2\\y&5\end{bmatrix}\) seja simétrica, é necessário e suficiente que:
- \(x=2\)
- \(y=2\)
- \(x=5\)
- \(y=-2\)
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Exige \(n_{12}=n_{21}\Rightarrow 2=y\). Alternativa b.
3) Quantos parâmetros independentes possui uma matriz simétrica \(4\times4\)?
- 6
- 7
- 10
- 16
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Para \(n\times n\) é \(n(n+1)/2\). Para \(n=4\): \(4\cdot5/2=10\). Alternativa c.
4) Se \(A\) é simétrica e invertível, então \(A^{-1}\) é:
- Simétrica
- Anti-simétrica
- Diagonal
- Nenhuma das anteriores
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\((A^{-1})^{\top}=(A^{\top})^{-1}=A^{-1}\). Logo é simétrica. Alternativa a.
5) Qual das matrizes abaixo é simétrica?
- \(\begin{bmatrix}2&-1\\-1&5\end{bmatrix}\)
- \(\begin{bmatrix}1&2\\3&1\end{bmatrix}\)
- \(\begin{bmatrix}0&3\\-3&0\end{bmatrix}\)
- \(\begin{bmatrix}2&0\\1&3\end{bmatrix}\)
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Somente a alternativa a satisfaz \(a_{12}=a_{21}\).
6) Para \(A=\begin{bmatrix}2&3\\3&1\end{bmatrix}\), o determinante vale:
- \(-7\)
- \(-5\)
- \(5\)
- \(7\)
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\(\det(A)=2\cdot1-3\cdot3=2-9=-7\). Alternativa a.
7) Se \(A\) e \(B\) são simétricas de mesma ordem, então:
- \(A+B\) é sempre simétrica.
- \(AB\) é sempre simétrica.
- \(A-B\) não é definida.
- \(A^{\top}=-A\).
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\((A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top}=A+B\). Logo a. (Já \(AB\) só é simétrica se \(AB=BA\)).
8) Para uma matriz simétrica \(A=[a_{ij}]\), é correto afirmar que:
- \(a_{ij}=a_{ji}\)
- \(a_{ij}=-a_{ji}\)
- \(a_{ii}=0\) para todo \(i\)
- \(a_{ij}=1\) para todo \(i,j\)
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Pela definição, \(a_{ij}=a_{ji}\). Alternativa a.
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