Conteúdo abordado: Cálculo da mediana em histogramas por interpolação linear.
Questão 18. (PUC-SP)
O histograma representa a distribuição das estaturas de 100 pessoas e as respectivas frequências. Por exemplo, na 3ª classe (155–160) estão situadas 11% das pessoas com estatura de 1,55 m a 1,59 m. A 5ª classe (165–170) chama-se classe mediana. Pelo ponto \( M \) situado na classe mediana, traça-se uma reta paralela ao eixo das frequências, de modo a dividir a área da figura formada pelos nove retângulos das frequências em duas regiões de mesma área. Determine a abscissa do ponto \( M \) (mediana das observações).
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Entendendo o enunciado:
A mediana é o valor que separa os 50% iniciais dos 50% finais da amostra.
Frequências acumuladas:
- 145–150: 3%
- 150–155: 6% → acumulado: 9%
- 155–160: 11% → acumulado: 20%
- 160–165: 16% → acumulado: 36%
- 165–170: 24% → acumulado: 60%
Logo, a classe mediana é 165–170, pois é nela que está o 50º percentil.
Aplicando a fórmula da mediana para dados agrupados:
\[ \text{Mediana} = L_i + \left( \frac{\frac{n}{2} – F_{a}}{f_m} \right) \cdot h \]- \( L_i = 165 \) (limite inferior da classe mediana)
- \( n = 100 \)
- \( \frac{n}{2} = 50 \)
- \( F_a = 36 \) (frequência acumulada antes da classe mediana)
- \( f_m = 24 \) (frequência da classe mediana)
- \( h = 5 \) (amplitude da classe)
\[ \text{Mediana} = 165 + \left( \frac{50 – 36}{24} \right) \cdot 5 = 165 + \left( \frac{14}{24} \right) \cdot 5 \] \[ = 165 + 0,5833 \cdot 5 = 165 + 2,9166 \approx \boxed{167,08} \]
Resposta final: aproximadamente 167,08
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