Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O MMC é um conceito fundamental da Matemática Básica, muito utilizado em frações, divisibilidade e problemas de ciclos. Dominar esse conteúdo é essencial para provas, concursos e ENEM.
O que é o MMC?
O Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles ao mesmo tempo.
Exemplo:
- Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16…
- Múltiplos de 6: 6, 12, 18…
MMC(4,6) = 12
MMC x MDC
| MMC | MDC |
|---|---|
| Menor múltiplo comum | Maior divisor comum |
| Usado para igualar denominadores | Usado para simplificar frações |
Existe uma relação importante entre eles:
\[ \mathrm{MMC}(a,b)\cdot \mathrm{MDC}(a,b)=a\cdot b \]Métodos para calcular o MMC
1) Decomposição em fatores primos
Decompomos os números em fatores primos e escolhemos cada fator com o maior expoente.
Exemplo: MMC(12,18)
\(12=2^2\cdot3\)
\(18=2\cdot3^2\)
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot3^2=36\)
2) Método prático usando o MDC
\[ \mathrm{MMC}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\mathrm{MDC}(a,b)} \]Exemplo: MMC(15,20)
\(\mathrm{MDC}(15,20)=5\)
\(\mathrm{MMC}=\frac{15\cdot20}{5}=60\)
🧪 Exercícios resolvidos
1) Calcule \(\mathrm{MMC}(18,24)\).
Ver solução
\(18=2\cdot3^2\) e \(24=2^3\cdot3\)
\(\mathrm{MMC}=2^3\cdot3^2=72\)
2) Calcule \(\mathrm{MMC}(10,14,21)\).
Ver solução
\(10=2\cdot5\), \(14=2\cdot7\), \(21=3\cdot7\)
\(\mathrm{MMC}=2\cdot3\cdot5\cdot7=210\)
3) Qual o denominador comum de \(\frac{3}{8}\) e \(\frac{5}{12}\)?
Ver solução
\(\mathrm{MMC}(8,12)=24\)
4) Dois eventos ocorrem a cada 9 e 12 dias. Quando coincidem?
Ver solução
\(\mathrm{MMC}(9,12)=36\)
Coincidem após 36 dias.
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📘 Lista de Exercícios — Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Resolva os itens a seguir. Clique para ver as soluções passo a passo.
1) Calcule o MMC(18, 24).
Ver solução
\(18=2\cdot 3^2\), \(24=2^3\cdot 3\).
\(\mathrm{MMC}=2^3\cdot 3^2=72\).
Resposta: 72.
2) Calcule o MMC(28, 35).
Ver solução
\(28=2^2\cdot 7\), \(35=5\cdot 7\).
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 5\cdot 7=140\).
Resposta: 140.
3) Calcule o MMC(12, 15, 20).
Ver solução
\(12=2^2\cdot 3\), \(15=3\cdot 5\), \(20=2^2\cdot 5\).
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 3\cdot 5=60\).
Resposta: 60.
4) Calcule o MMC(45, 60).
Ver solução
\(45=3^2\cdot 5\), \(60=2^2\cdot 3\cdot 5\).
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180\).
Resposta: 180.
5) Calcule o MMC(16, 20, 24).
Ver solução
\(16=2^4\), \(20=2^2\cdot 5\), \(24=2^3\cdot 3\).
\(\mathrm{MMC}=2^4\cdot 3\cdot 5=240\).
Resposta: 240.
6) Some \(\frac{5}{12}+\frac{7}{18}\) usando o MMC.
Ver solução
\(\mathrm{MMC}(12,18)=36\).
\(\frac{5}{12}=\frac{15}{36}\), \(\frac{7}{18}=\frac{14}{36}\).
Soma: \(\frac{29}{36}\).
Resposta: \(\frac{29}{36}\).
7) Dois ônibus passam a cada 9 min e 12 min. Em quanto tempo voltam a passar juntos?
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\(\mathrm{MMC}(9,12)=36\).
Resposta: 36 minutos.
8) Revisões ocorrem a cada 4 dias e 10 dias. Quando coincidem?
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\(\mathrm{MMC}(4,10)=20\).
Resposta: 20 dias.
9) Três sinais piscam a cada 6 s, 8 s e 14 s. Quando piscam juntos?
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\(6=2\cdot 3\), \(8=2^3\), \(14=2\cdot 7\).
\(\mathrm{MMC}=168\).
Resposta: 168 segundos.
🗂️ Gabarito rápido (sem resolução)
- 72
- 140
- 60
- 180
- 240
- \(29/36\)
- 36 min
- 20 dias
- 168 s
