Mudança de Base de um Logaritmo

Em muitos cálculos, especialmente em provas de vestibulares, concursos e até no ENEM, é comum precisarmos calcular logaritmos em bases diferentes daquelas disponíveis na calculadora (geralmente base 10 e base \(e\)). Para isso, utilizamos a mudança de base.

Fórmula da mudança de base

\[ \log_{a} x = \frac{\log_{c} x}{\log_{c} a}, \quad \text{com } a > 0, a \neq 1, x > 0, c > 0, c \neq 1 \]

Exemplo resolvido

Exemplo: Calcular \(\log_{2} 50\)

Pela fórmula: \[ \log_{2} 50 = \frac{\log_{10} 50}{\log_{10} 2} \] Usando aproximações: \(\log_{10} 50 \approx 1,6989\) e \(\log_{10} 2 \approx 0,3010\). Logo: \[ \log_{2} 50 \approx \frac{1,6989}{0,3010} \approx 5,64 \] Resposta: \(\log_{2} 50 \approx 5,64\).

Exercícios de Fixação

1) Escreva em base 10:

a) \(\log_{3} 81\)
b) \(\log_{5} 20\)
c) \(\log_{7} 2\)

Resposta

a) \(\dfrac{\log_{10} 81}{\log_{10} 3} = 4\)

b) \(\dfrac{\log_{10} 20}{\log_{10} 5} \approx 1,86\)

c) \(\dfrac{\log_{10} 2}{\log_{10} 7} \approx 0,356\)

2) Resolva em base \(e\):

\(\log_{4} 50 = \dfrac{\ln 50}{\ln 4}\)

Resposta

\(\log_{4} 50 \approx \dfrac{3,912}{1,386} \approx 2,82\)

3) (Vunesp) O valor de \(\log_{2} 1000\) é mais próximo de:

a) 8,5
b) 9,9
c) 10,0
d) 9,96

Resposta

\(\log_{2} 1000 = \dfrac{\log_{10} 1000}{\log_{10} 2} = \dfrac{3}{0,3010} \approx 9,96\) Alternativa d

4) Calcule: \(\log_{5} 125\).

Resposta

\(\log_{5} 125 = \dfrac{\log_{10} 125}{\log_{10} 5} = \dfrac{3}{1} = 3\)

5) (ENEM) Se \(\log_{3} 2 \approx 0,63\), o valor aproximado de \(\log_{9} 2\) é:

a) 0,21
b) 0,31
c) 0,45
d) 0,63

Resposta

\(\log_{9} 2 = \dfrac{\log_{3} 2}{\log_{3} 9} = \dfrac{0,63}{2} = 0,315\) Alternativa b

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Conclusão

A mudança de base é uma das propriedades mais práticas do estudo dos logaritmos. Ela conecta diferentes bases e permite que cálculos complicados se tornem acessíveis com ferramentas simples. Entender essa técnica é um passo fundamental para quem deseja dominar funções logarítmicas e resolver questões com eficiência.