Números Deficientes e Abundantes — Conceito, Exemplos e Exercícios
O que são números deficientes e abundantes
Para um número natural \(n\), calculamos a soma de seus divisores próprios (excluindo o próprio número). A partir disso, temos:
- Números deficientes: \(\sigma(n) – n < n\)
- Números abundantes: \(\sigma(n) – n > n\)
Se \(\sigma(n) – n = n\), temos um número perfeito.
Propriedades
- Todo número primo é deficiente, pois seus divisores próprios somam \(1\).
- Os menores números abundantes são \(12\), \(18\) e \(20\).
- Números perfeitos ocupam a fronteira entre deficientes e abundantes.
Exemplos com cálculo passo a passo
Exemplo 1 — Número deficiente
Vamos analisar \(8\):
\[
\text{Divisores próprios de } 8 = 1 + 2 + 4 = 7
\]
Como \(7 < 8\), o número \(8\) é deficiente.
Exemplo 2 — Número abundante
Agora, considere \(12\):
\[
\text{Divisores próprios de } 12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
\]
Como \(16 > 12\), o número \(12\) é abundante.
Tabela comparativa
| Número | Divisores próprios | Soma | Classificação |
|---|---|---|---|
| 6 | 1, 2, 3 | 6 | Perfeito |
| 8 | 1, 2, 4 | 7 | Deficiente |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6 | 16 | Abundante |
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9 | 21 | Abundante |
Exercícios propostos
- Classifique o número \(15\) como deficiente, abundante ou perfeito.
- Calcule a soma dos divisores próprios de \(20\) e classifique-o.
- Explique a relação entre números perfeitos e abundantes.
Gabarito
1) Divisores de \(15\): \(1+3+5=9\) → deficiente.
2) Divisores de \(20\): \(1+2+4+5+10=22\) → abundante.
3) Números perfeitos possuem soma igual ao próprio número, enquanto abundantes têm soma maior.
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Resumo e materiais
- ✔ Deficientes: soma dos divisores próprios menor que o número.
- ✔ Abundantes: soma dos divisores próprios maior que o número.
- ✔ Relação com números perfeitos e exemplos clássicos.
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