Números Inteiros Relativos (ℤ) — Definição, Propriedades e Exercícios
O que são números inteiros relativos
Chamamos de números inteiros relativos o conjunto dos números inteiros com sinal positivo, negativo e o zero:
\[
\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}
\]
O símbolo ℤ vem do alemão Zahlen, que significa “números”.
Reta numérica e representação
Na reta, os números inteiros relativos estão distribuídos simetricamente em relação ao zero:
- Números positivos → à direita do zero.
- Números negativos → à esquerda do zero.
- Zero → origem.
Módulo e distância
O módulo de \(x\), denotado por \(|x|\), é a distância entre \(x\) e o zero na reta:
\[
|x| = \begin{cases}
x, & x\ge 0 \\
-x, & x<0
\end{cases}
\]
Exemplo: \(|-7|=7\), \(|3|=3\).
Operações com sinais
Adição e subtração
- Mesmo sinal: soma os módulos e conserva o sinal.
- Sinais diferentes: subtrai os módulos e fica com o sinal do maior módulo.
Ex.: \(+5 + (-3) = +2\); \(-7 + (-4) = -11\).
Multiplicação e divisão
- Sinais iguais → resultado positivo.
- Sinais diferentes → resultado negativo.
\((+)(+)=+\), \((+)(-)=-\), \((-) (-)=+\).
Inequações e intervalos
Em ℤ, inequações seguem a ordem na reta numérica. Ao multiplicar por número negativo, invertemos o sentido da desigualdade:
Ex.: \( -2x > 8 \iff x < -4\).
Aplicações práticas
- Temperaturas: \(-5^\circ C\) a \(+30^\circ C\).
- Finanças: débitos (\(-\)) e créditos (\(+\)).
- Altitudes: níveis acima e abaixo do mar.
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 — Soma com sinais diferentes
Solução
\(7 + (-12) = -5\).
Exemplo 2 — Módulo
Solução
\(|-15| = 15\).
Exemplo 3 — Inequação
Solução
Resolva \(-3x \ge 12\): \(x \le -4\).
Exercícios Propostos
- Classifique: -7, 0, 8, -15, 23.
- Resolva: \(5 + (-8)\).
- Calcule \(|-25| + |-7|\).
- Resolva \(-4x \le 12\).
- Determine o valor de \(x\) para \(2|x|=14\).
Gabarito
1) Negativos: -7, -15. Positivos: 8, 23. Zero: neutro.
2) \(-3\).
3) \(25+7=32\).
4) \(x \ge -3\).
5) \(|x|=7\) ⇒ \(x=7\) ou \(x=-7\).
Leituras Relacionadas
Resumo e Materiais
- ✔ Definição de ℤ com positivos, negativos e zero
- ✔ Módulo, operações e inequações
- ✔ Aplicações práticas e exemplos resolvidos
- ✔ Exercícios com gabarito
