Números Naturais Não Nulos (ℕ*) — Definição, Propriedades e Exercícios

Atualizado em 23 de agosto de 2025 • Leitura: ~14 min • Conteúdo com teoria, exemplos e exercícios

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O que é ℕ* (naturais não nulos)?

Chamamos de números naturais não nulos o conjunto dos naturais sem o zero:

\[ \mathbb{N}^*=\{1,2,3,4,5,\dots\} \]

Usamos ℕ* para enfatizar situações em que o zero não é permitido (contagens estritamente positivas, denominadores em frações, etc.).

Convenções: ℕ com ou sem o zero

Alguns autores definem \( \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}\).
Outros usam \( \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\) e então \( \mathbb{N}^*=\mathbb{N}\).

Dica: Sempre verifique a convenção do material. Neste artigo, \( \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\) e \( \mathbb{N}^*=\{1,2,3,\dots\}\).

Propriedades e operações em ℕ*

Fechamento: se \(a,b\in\mathbb{N}^*\), então \(a+b\in\mathbb{N}^*\) e \(a\cdot b\in\mathbb{N}^*\).
Neutros: adição → 0 (não pertence a ℕ*), multiplicação → 1 (pertence a ℕ*).
Ordem: é um conjunto ordenado: \(1<2<3<\dots\).
Sem inverso aditivo: não existem negativos em ℕ* (para subtrações genéricas, use inteiros).

Propriedades úteis:
\(\text{par}(n)\iff 2\mid n\), ⇒ \(\text{ímpar}(n)\iff 2\nmid n\).

Divisibilidade, primos, MDC e MMC

Divisibilidade

Dizemos que \(a\) divide \(b\) (\(a\mid b\)) se existe \(k\in\mathbb{N}^*\) tal que \(b=a\cdot k\).

Números primos

\(p\in\mathbb{N}^*\) é primo se tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11…

MDC e MMC

MDC(a,b): maior divisor comum de \(a\) e \(b\).
MMC(a,b): menor múltiplo comum de \(a\) e \(b\).
Relação fundamental (para \(a,b>0\)): \(\displaystyle a\cdot b=\mathrm{MDC}(a,b)\cdot \mathrm{MMC}(a,b)\).

Fatoração prima e escrita canônica

Todo \(n\in\mathbb{N}^*\) (com \(n>1\)) pode ser escrito de forma única como produto de primos:

\[ n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}, \quad p_i \text{ primos},\ \alpha_i\in\mathbb{N}^*. \]

Com a fatoração, fica fácil obter MDC e MMC comparando expoentes dos mesmos primos.

Exemplo: \(60=2^2\cdot3\cdot5\) e \(36=2^2\cdot3^2\). Logo: \(\mathrm{MDC}=2^2\cdot3=12\), \(\mathrm{MMC}=2^2\cdot3^2\cdot5=180\).

Princípio fundamental da contagem

Se um processo tem \(m\) opções e, para cada uma, há \(n\) opções seguintes independentes, então há \(m\cdot n\) resultados possíveis. Generalizando, multiplique as opções de cada etapa.

\[ \text{Total} = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k. \]

Esse princípio organiza contagens em ℕ*, base para arranjos, combinações e permutações.

Sequências úteis (Fibonacci, triangulares)

Fibonacci: \(F_1=1,F_2=1\) e \(F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\). Exemplos: 1,1,2,3,5,8,13…
Triangulares: \(T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) (contagens de pares e somas de 1 a n).

Conexões: veja Números Triangulares e Números Naturais.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 — Classificação rápida

Enunciado: 0, 1, 2, 15, 37. Quais pertencem a ℕ*?

Solução

ℕ* = {1,2,3,…}. Logo, pertencem: 1, 2, 15, 37; o 0 fica de fora.

Exemplo 2 — MDC e MMC por fatoração

Enunciado: Calcule MDC(60,36) e MMC(60,36).

Solução

60 = \(2^2\cdot3\cdot5\); 36 = \(2^2\cdot3^2\).
MDC = \(2^2\cdot3=12\). MMC = \(2^2\cdot3^2\cdot5=180\).

Exemplo 3 — Contagem

Enunciado: Uma senha tem 2 letras (26 opções cada) e 3 dígitos (10 opções cada). Quantas senhas possíveis?

Solução

Total = \(26^2 \cdot 10^3 = 676 \cdot 1000 = 676\,000\).

Exemplo 4 — Triangularidade

Enunciado: 55 é triangular?

Solução

Teste: \(8\cdot55+1=441=21^2\) ⇒ sim, \(55=T_{10}\).

Exercícios Propostos

Escreva os 10 primeiros elementos de ℕ*.
Classifique como primo ou composto: 17, 21, 29, 30.
Fatore \( n=420 \) em primos (forma canônica).
Calcule MDC(84, 126) e MMC(84, 126).
Em uma lanchonete: 3 tipos de pão, 4 de recheio e 2 de molho. Quantos sanduíches diferentes?
Mostre que a soma dos \(n\) primeiros ímpares é \(n^2\).
Determine \(n\in\mathbb{N}^*\) tal que \(T_n=210\).
Conte quantos divisores positivos tem \(n=360\).
Resolva em ℕ*: \(3x+7=52\).
Dados \(a,b\in\mathbb{N}^*\), prove que \(\mathrm{MMC}(a,b)\cdot\mathrm{MDC}(a,b)=ab\).

Gabarito (clique para ver)

1) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
2) 17 (primo), 21 (composto), 29 (primo), 30 (composto).
3) \(420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7\).
4) 84=\(2^2\cdot3\cdot7\), 126=\(2\cdot3^2\cdot7\).
MDC=\(2\cdot3\cdot7=42\); MMC=\(2^2\cdot3^2\cdot7=252\).
5) \(3\cdot4\cdot2=24\).
6) Por indução ou emparelhamento: \(1+3+\cdots+(2n-1)=n^2\).
7) \(n(n+1)/2=210\Rightarrow n^2+n-420=0\Rightarrow n=\frac{-1+41}{2}=20\).
8) 360=\(2^3\cdot3^2\cdot5\) ⇒ divisores \(=(3+1)(2+1)(1+1)=24\).
9) \(3x=45\Rightarrow x=15\).
10) Via fatoração prima: os expoentes mínimos (MDC) e máximos (MMC) garantem a igualdade \(ab=\mathrm{MDC}\cdot\mathrm{MMC}\).