Números Transcendentais — Definição, Diferenças, Exemplos e Exercícios

Atualizado em 22 de agosto de 2025 • Leitura: ~14 min • Conteúdo com teoria, exemplos e exercícios

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O que são números transcendentais?

Números transcendentais são números reais ou complexos que não são solução de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros e grau ≥ 1.

\[ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0,\quad a_i\in\mathbb{Z},\ a_n\neq 0 \] Não existe polinômio que satisfaça um número transcendental.

Exemplos conhecidos são \(\pi\) e \(e\).

Diferença entre transcendentais e algébricos

Algébricos: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Ex.: \(\sqrt{2}\), \(1/3\).
Transcendentais: não satisfazem nenhum polinômio com coeficientes inteiros. Ex.: \(\pi\), \(e\).

Dica: todos os números transcendentais são irracionais, mas nem todos os irracionais são transcendentais.

Exemplos clássicos

\(\pi\): número mais famoso, relacionado à circunferência. Prova de sua transcendência foi feita por Ferdinand von Lindemann, em 1882.
\(e\): base dos logaritmos naturais, demonstrado transcendental por Hermite em 1873.
Outros exemplos mais avançados: \(2^\pi\), \(\pi^e\).

Propriedades principais

O conjunto dos transcendentais é não enumerável, ou seja, infinitamente maior que o conjunto dos números algébricos.
Todos os números transcendentais são irracionais.
São raros de encontrar explicitamente, mas a maioria dos números reais é transcendental.

Breve histórico

O conceito foi introduzido no século XVII por Leibniz. Em 1844, Liouville construiu o primeiro exemplo explícito de número transcendental, hoje conhecido como Número de Liouville.

Aplicações práticas

Cálculo de áreas e volumes envolvendo \(\pi\).
Equações diferenciais que usam \(e\) e funções exponenciais.
Estudos avançados em análise complexa e teoria dos números.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Prove que \(\sqrt{3}\) não é transcendental

Solução

\(\sqrt{3}\) satisfaz a equação \(x^2-3=0\) ⇒ é algébrico, não transcendental.

Exemplo 2 — Classificação de \(\pi\) e \(e\)

Solução

\(\pi\) e \(e\) não são raízes de nenhum polinômio com coeficientes inteiros ⇒ são transcendentais.

Exercícios propostos

Explique por que todos os números transcendentais são irracionais.
Classifique como algébrico ou transcendental: \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\), \(\dfrac{4}{7}\).
Dê um exemplo de número transcendental além de \(\pi\) e \(e\).
Prove que \(1+i\) não é transcendental.
Explique por que o conjunto dos transcendentais é maior que o dos algébricos.

Gabarito

1) Pois não podem ser expressos como fração de inteiros.
2) \(\sqrt{2}\): algébrico; \(\pi\): transcendental; \(e\): transcendental; \(4/7\): algébrico.
3) Exemplos: \(2^\pi\), \(\pi^e\).
4) \(1+i\) satisfaz \(x^2-2x+2=0\) ⇒ algébrico.
5) O conjunto dos transcendentais é não enumerável, enquanto o dos algébricos é contável.