Questão 02. Ana e Pedro cortam pedaços de papel que estão em uma cesta.
- Sempre que Ana pega um pedaço, corta em cinco pedaços e devolve todos os pedaços cortados para a cesta.
- Sempre que Pedro pega um pedaço, corta em três pedaços e devolve todos os pedaços cortados para a cesta.
- Inicialmente, há três pedaços de papel na cesta.
a) Quantos pedaços de papel ficarão na cesta depois de Ana e Pedro pegarem um pedaço cada um e devolverem os pedaços cortados para a cesta?
b) Descreva uma maneira de Ana e Pedro pegarem, cortarem e devolverem todos os pedaços de papel da cesta de modo que, a partir dos três pedaços iniciais, a cesta fique com 11 pedaços.
c) Explique por que, a partir dos três pedaços iniciais, a cesta nunca ficará com 2024 pedaços após Ana e Pedro devolverem todos os pedaços cortados para a cesta.
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🔎 Entendendo o enunciado:
O objetivo é acompanhar o crescimento do número de pedaços de papel, conforme Ana e Pedro vão realizando ações. Precisamos entender como cada ação afeta a quantidade total na cesta.
1) Resolvendo o item a:
Vamos analisar o efeito das ações de Ana e Pedro individualmente:
- Ana: pega 1 pedaço, corta em 5, devolve 5 → a cesta ganha +4 pedaços (5 – 1)
- Pedro: pega 1 pedaço, corta em 3, devolve 3 → a cesta ganha +2 pedaços (3 – 1)
Logo, se ambos realizarem essas ações a partir de 3 pedaços iniciais:
$$ 3 + 4 + 2 = 9 \text{ pedaços} $$
✅ Conclusão do item a):
- Após uma ação de Ana e uma de Pedro, a cesta terá 9 pedaços de papel.
2) Resolvendo o item b:
Nosso objetivo é alcançar 11 pedaços a partir de 3 pedaços iniciais, usando ações de Ana e Pedro. Como cada ação aumenta a quantidade de papéis, vamos buscar sequências cujos ganhos somem 8 (pois 3 + 8 = 11).
Como vimos:
- Cada ação de Ana: +4 pedaços
- Cada ação de Pedro: +2 pedaços
Vamos encontrar combinações de somas que resultem em +8:
- 2 vezes Ana: 4 + 4 = 8
- Ana, Pedro, Pedro: 4 + 2 + 2 = 8
- Pedro, Ana, Pedro: 2 + 4 + 2 = 8
- Pedro, Pedro, Ana: 2 + 2 + 4 = 8
- Pedro, Ana, Ana: 2 + 4 + 4 = 10 (excede)
Exemplo de sequência válida:
- Ana → Pedro → Pedro: 3 → 7 → 9 → 11
✅ Conclusão do item b):
- Uma sequência possível é: Ana → Pedro → Pedro, entre outras variações que totalizam +8 pedaços.
3) Resolvendo o item c:
Vamos observar a paridade (par ou ímpar) da quantidade de pedaços:
- Inicialmente, há 3 pedaços: número ímpar
- Ação de Ana: adiciona 4 (par) → ímpar + par = ímpar
- Ação de Pedro: adiciona 2 (par) → ímpar + par = ímpar
Ou seja, após qualquer sequência de ações, o total de pedaços continuará sendo um número ímpar.
Como 2024 é par, nunca será atingido.
✅ Conclusão do item c):
- A quantidade de papéis na cesta será sempre ímpar, então nunca será igual a 2024.
