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Questão de Analise Combinatória – Permutação e Arranjo
Temos m meninos e m meninas. De quantas formas eles podem formar uma roda, de modo que os meninos e as meninas se alternem? Sugestão: Suponha m = 3 e forme primeiro a roda só com meninos. Depois que o leitor “sentir” o problema para m = 3, deve resolver para m qualquer.
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1 – Análise Combinatória – Permutação Circular com Alternância
Neste problema, queremos determinar o número de formas distintas de organizar mm meninos e mm meninas em uma roda, de modo que as posições alternem entre meninos e meninas.
2 – Entendendo o enunciado
O problema envolve duas condições principais:
As pessoas devem ser organizadas em uma roda, então usamos permutações circulares.
Os meninos e as meninas devem se alternar.
Para m=3m = 3:
Primeiro, organizamos os 3 meninos em uma roda. Como a disposição é circular:
Pcircular(3) = (3 − 1)! = 2!
Depois de fixar a posição dos meninos, as meninas podem ser organizadas nas 3 posições restantes. Como as meninas podem ser organizadas livremente:
P(3) = 3!
O número total de formas para m = 3 é:
Pcircular(3)⋅P(3) = 2!⋅3! = 2⋅6 = 12
Para mm genérico:
Organizamos os mm meninos em uma roda:
Pcircular(m) = (m − 1)!
Depois de fixar a posição dos meninos, as mm meninas podem ser organizadas nas mm posições restantes:
P(m) = m!
O número total de formas para mm genérico é:
Pcircular(m)⋅P(m) = (m−1)!⋅m!
3 – Cálculo
Para m = 3:
Total = 2!⋅3! = 2⋅6 = 12
Para mm genérico:
Total = (m − 1)!⋅m!
4 – Resposta
- Para m = 3, o número de formas de organizar 3 meninos e 3 meninas em uma roda, alternando as posições, é 12.
- Para mm genérico, o número total de formas é (m − 1)!⋅m!
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