Depois de dominar a Introdução à Contagem (regra do produto e da soma) , o próximo passo em Análise Combinatória é estudar as permutações simples, que tratam de quantos rearranjos possíveis podemos formar com um conjunto de elementos distintos.
Neste artigo você vai aprender:
- o que é uma permutação simples;
- a fórmula \(n!\) (fatorial de \(n\));
- como aplicar permutações em problemas de contagem;
- exemplos resolvidos passo a passo;
- uma lista de exercícios com soluções comentadas.
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Para revisar Análise Combinatória, você pode combinar este artigo com os Mapas Mentais de Matemática e com o Curso Matemática Básica: Do Zero à Confiança Prática , do Professor Adriano Rocha.
O que é uma permutação simples?
Em linguagem informal, uma permutação é um modo de reorganizar os elementos de um conjunto. Quando todos os elementos são distintos, falamos em permutações simples.
Seja um conjunto com \(n\) elementos distintos. Chamamos de permutação simples qualquer forma de ordenar esses \(n\) elementos. O número total de permutações simples de \(n\) elementos é dado por:
\[ P_n = n! \]
onde \(n!\) (lê-se “n fatorial”) é definido por \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] e, por convenção, \(0! = 1\).
A ideia é a mesma vista no artigo de Introdução à Contagem : usamos a regra do produto, mas agora aplicada a todas as posições de um conjunto que será rearranjado.
Exemplos resolvidos de permutações simples
A palavra RIO tem 3 letras, todas distintas (R, I, O).
Queremos contar quantas ordenações diferentes podemos formar com essas letras.
Como se trata de permutação simples de 3 elementos, temos:
\[ P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \]
As permutações são: RIO, ROI, IRO, IOR, ORI, OIR.
Devemos usar todos os 3 algarismos (1, 2 e 3), sem repetição, formando números de 3 algarismos.
Isso é exatamente o problema de permutar 3 elementos distintos, logo:
\[ P_3 = 3! = 6 \]
Assim, existem 6 números diferentes que podem ser formados: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Temos 5 candidatos distintos e todas as posições (1º, 2º, 3º, 4º e 5º) serão ocupadas, sem repetição.
Portanto, trata-se de uma permutação simples de 5 elementos.
\[ P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \]
Logo, a classificação final pode ocorrer de 120 maneiras diferentes.
Quando usar permutações simples em problemas?
Em resumo, você pode pensar na seguinte lista de verificação:
- Todos os elementos são distintos?
- Você está usando todos os elementos disponíveis?
- A ordem importa? (trocar a posição muda o resultado)
Se a resposta for “sim” para esses três pontos, você provavelmente está diante de um problema de permutação simples e pode aplicar diretamente a fórmula \(n!\).
Quando a ordem não importa, ou quando usamos apenas parte dos elementos, normalmente estaremos em situações de arranjos ou combinações, que são próximos passos depois de dominar permutações e a Introdução à Contagem .
Lista de exercícios – Permutações simples
Resolva os exercícios a seguir aplicando a fórmula de permutação simples e, quando necessário, o raciocínio de contagem por etapas visto em Introdução à Contagem . Em seguida, confira as soluções no sistema de abre e fecha.
De quantas maneiras podemos ordenar as letras da palavra AMO?
A palavra AMO tem 3 letras distintas (A, M, O).
Queremos todas as ordenações possíveis → permutação simples de 3 elementos:
\[ P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \]
Logo, existem 6 ordenações diferentes.
Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3 e 4?
Devemos usar todos os 4 algarismos, sem repetição, formando números de 4 algarismos.
É uma permutação simples de 4 elementos:
\[ P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \]
Portanto, existem 24 números possíveis.
Uma senha de acesso é formada pela ordenação das letras A, B, C, D e E, sem repetição. Quantas senhas diferentes podem ser criadas?
Todas as 5 letras serão usadas, em ordem, sem repetição.
Temos uma permutação simples de 5 elementos:
\[ P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \]
Logo, é possível formar 120 senhas diferentes.
Em uma prateleira serão dispostos 6 livros diferentes de Matemática. De quantas maneiras diferentes esses livros podem ser organizados em fila?
Temos 6 livros distintos, todos serão colocados na prateleira, em ordem.
Assim, o número de arrumações é:
\[ P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \]
Portanto, há 720 maneiras diferentes de organizar os livros.
Em uma prova de artes, 4 quadros distintos devem ser pendurados lado a lado em uma parede. De quantos modos isso pode ser feito?
São 4 quadros distintos, e todos serão usados, em ordem.
Portanto, o número de maneiras é:
\[ P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \]
Existem 24 disposições diferentes dos quadros na parede.
Conectando Permutações com outros temas de contagem
As permutações simples são apenas o início da jornada em Análise Combinatória. A partir delas, você passa a entender melhor:
- como surgem os arranjos (quando usamos apenas parte dos elementos);
- como surgem as combinações (quando a ordem deixa de importar);
- como aplicar tudo isso em Probabilidade e Raciocínio Lógico.
Se achar que precisa reforçar a base de contagem antes de avançar, volte para o artigo Introdução à Contagem , onde os princípios da regra do produto e da regra da soma são trabalhados de forma intuitiva, com exemplos e exercícios.
Em seguida, aprofunde o estudo com:
- os Mapas Mentais de Matemática para concurso ;
- o Curso Matemática Básica: Do Zero à Confiança Prática ;
- e o pacote 10 eBooks de Matemática , com teoria e questões resolvidas.
Estudando de forma constante e revisando os exercícios, você transforma a ideia de “decorar fórmulas” em entender a lógica por trás dos problemas – exatamente o que mais cai em provas e concursos.
