Pirâmides – Definição, Elementos, Fórmulas, Exemplos e Exercícios
Guia completo sobre pirâmides em Geometria Espacial: conceitos, elementos, fórmulas de área e volume, semelhança, tronco de pirâmide, exemplos resolvidos e exercícios.
Legenda de símbolos (use nas fórmulas abaixo)
O que é uma pirâmide?
É um sólido geométrico formado por um polígono na base e por faces laterais triangulares que se encontram num ponto chamado vértice. Se o vértice está alinhado sobre o centro da base, a pirâmide é reta; caso contrário, é oblíqua.
Quanto ao tipo de base, podemos ter pirâmide triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal etc. Se a base é regular e as faces laterais são congruentes, temos a pirâmide regular.
Fórmulas gerais (pirâmide regular)
Área da base: para base poligonal regular com \(n\) lados de medida \(a\):
\( \displaystyle A_b=\frac{P\cdot r}{2} \quad \text{com } P=na \)
Equivalente: \( \displaystyle A_b=\frac{n\,a^2}{4\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \)
Relação entre apótemas e altura: \( \displaystyle m^2=h^2+r^2 \Rightarrow h=\sqrt{m^2-r^2} \)
Área lateral: \( \displaystyle A_l=\frac{P\cdot m}{2} \)
Área total: \( \displaystyle A_t=A_b+A_l \)
Volume: \( \displaystyle V=\frac{1}{3}\,A_b\,h \)
Para casos específicos, veja: pirâmide triangular, pirâmide quadrangular, pirâmide hexagonal e o tetraedro regular.
Semelhança de pirâmides
Se duas pirâmides são semelhantes com razão linear \(k\):
- As áreas (base, lateral e total) variam com \(k^2\).
- Os volumes variam com \(k^3\).
Aplicação direta em troncos de pirâmide e razões de semelhança.
Tronco de pirâmide (corte paralelo)
Ao cortar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtém-se um tronco de pirâmide. Para tronco regular com bases paralelas de áreas \(A_M\) (maior) e \(A_m\) (menor), altura do tronco \(h\) e geratriz \(g\):
Área lateral do tronco: \( \displaystyle A_l=\frac{(P_M+P_m)\,g}{2} \)
Volume do tronco: \( \displaystyle V=\frac{h}{3}\left(A_M+A_m+\sqrt{A_MA_m}\right) \)
Veja o conteúdo dedicado: Tronco de Pirâmide e Exercício de Pirâmide.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Pirâmide quadrangular (base quadrada)
Considere uma pirâmide quadrangular regular com lado do quadrado da base \(a=10\ \text{cm}\) e altura da pirâmide \(h=12\ \text{cm}\). Calcule \(A_b\), \(m\), \(A_l\), \(A_t\) e \(V\).
Solução. \(A_b=a^2=100\). No quadrado regular, \(r=\frac{a}{2}=5\). Então \(m=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\).
\(A_l=\frac{P\,m}{2}=\frac{4a\cdot m}{2}=\frac{40\cdot13}{2}=260\). Logo \(A_t=100+260=360\).
\(V=\frac{1}{3}A_bh=\frac{1}{3}\cdot100\cdot12=\mathbf{400\ \text{cm}^3}\).
Exemplo 2 — Pirâmide hexagonal
Pirâmide hexagonal regular com lado da base \(a=6\ \text{cm}\) e altura \(h=10\ \text{cm}\). Calcule \(A_b\), \(m\), \(A_l\), \(A_t\) e \(V\).
Solução. \(A_b=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot36=54\sqrt{3}\).
No hexágono regular, \(r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=3\sqrt{3}\). Assim \(m=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{100+27}=\sqrt{127}\).
\(A_l=\dfrac{P\,m}{2}=\dfrac{6a\cdot m}{2}=3am=18\sqrt{127}\). \(A_t=54\sqrt{3}+18\sqrt{127}\). \(V=\dfrac{1}{3}\cdot54\sqrt{3}\cdot10=\mathbf{180\sqrt{3}}\ \text{cm}^3\).
Exemplo 3 — Pirâmide triangular (base equilátera)
Pirâmide triangular regular com lado do triângulo da base \(a=8\ \text{cm}\) e altura \(h=15\ \text{cm}\). Calcule \(A_b\) e \(V\).
Solução. \(A_b=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\). \(V=\dfrac{1}{3}\cdot16\sqrt{3}\cdot15=\mathbf{80\sqrt{3}}\ \text{cm}^3\).
Conteúdos específicos: Pirâmide triangular e Tetraedro regular.
10 Exercícios (múltipla escolha)
Abra as soluções para conferir o passo a passo. Onde necessário, use \(\sqrt{3}\approx1{,}732\).
Q1 — Volume (triangular)
Uma pirâmide triangular regular tem lado do triângulo da base \(a=6\ \text{cm}\) e altura \(h=10\ \text{cm}\). O volume é:
- \(27\sqrt{3}\)
- \(30\sqrt{3}\)
- \(36\sqrt{3}\)
- \(45\sqrt{3}\)
\(A_b=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\). \(V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot10=\mathbf{30\sqrt{3}}\ \text{cm}^3\).
Gabarito: B
Q2 — Volume (quadrangular)
Pirâmide quadrangular regular com lado do quadrado da base \(a=8\ \text{cm}\) e altura \(h=12\ \text{cm}\). O volume é:
- \(192\ \text{cm}^3\)
- \(204{,}8\ \text{cm}^3\)
- \(256\ \text{cm}^3\)
- \(288\ \text{cm}^3\)
\(A_b=a^2=64\). \(V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot12=\mathbf{256}\ \text{cm}^3\).
Gabarito: C
Q3 — Volume (hexagonal)
Pirâmide hexagonal regular com lado da base \(a=5\ \text{cm}\) e altura \(h=9\ \text{cm}\). O volume é:
- \(112{,}5\sqrt{3}\ \text{cm}^3\)
- \(100\sqrt{3}\ \text{cm}^3\)
- \(150\sqrt{3}\ \text{cm}^3\)
- \(225\sqrt{3}\ \text{cm}^3\)
\(A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot25=\frac{75\sqrt{3}}{2}\). \(V=\frac{1}{3}\cdot \frac{75\sqrt{3}}{2}\cdot9=\mathbf{\frac{225\sqrt{3}}{2}=112{,}5\sqrt{3}}\).
Gabarito: A
Q4 — Área da base (pentagonal)
Para uma pirâmide regular de base pentagonal com número de lados \(n=5\) e lado da base \(a=4\ \text{cm}\), a área da base é (aprox.):
- \(28{,}87\ \text{cm}^2\)
- \(27{,}54\ \text{cm}^2\)
- \(26{,}18\ \text{cm}^2\)
- \(25{,}00\ \text{cm}^2\)
\(A_b=\frac{n a^2}{4\tan(\pi/n)}=\frac{5\cdot16}{4\tan 36^\circ}=\frac{80}{4\tan36^\circ}=\frac{20}{\tan36^\circ}\approx \mathbf{27{,}54}\ \text{cm}^2\).
Gabarito: B
Q5 — Área lateral (quadrangular)
Pirâmide quadrangular regular com lado da base \(a=10\ \text{cm}\) e apótema da pirâmide \(m=13\ \text{cm}\). A área lateral é:
- \(200\ \text{cm}^2\)
- \(220\ \text{cm}^2\)
- \(240\ \text{cm}^2\)
- \(260\ \text{cm}^2\)
\(A_l=\frac{P m}{2}=\frac{4a\cdot m}{2}=\frac{40\cdot13}{2}=\mathbf{260}\ \text{cm}^2\).
Gabarito: D
Q6 — Encontrando a altura (hexagonal)
Pirâmide hexagonal regular com lado da base \(a=12\ \text{cm}\) e apótema da pirâmide \(m=20\ \text{cm}\). A altura é, aprox.:
- \(16{,}0\ \text{cm}\)
- \(17{,}1\ \text{cm}\)
- \(18{,}0\ \text{cm}\)
- \(20{,}0\ \text{cm}\)
\(r=\frac{\sqrt{3}}{2}a=6\sqrt{3}\). \(h=\sqrt{m^2-r^2}=\sqrt{400-108}=\sqrt{292}\approx \mathbf{17{,}1}\ \text{cm}\).
Gabarito: B
Q7 — Semelhança (volume)
Modelos semelhantes em razão linear \(k=\dfrac{3}{2}\) (real : modelo). Se o volume do modelo é \(200\ \text{cm}^3\), o volume real é:
- \(600\ \text{cm}^3\)
- \(675\ \text{cm}^3\)
- \(700\ \text{cm}^3\)
- \(750\ \text{cm}^3\)
Volumes \(\propto k^3=(3/2)^3=27/8=3{,}375\). \(V_r=3{,}375\cdot200=\mathbf{675\ \text{cm}^3}\).
Gabarito: B
Q8 — Fórmula do tronco
Qual expressão fornece corretamente o volume de um tronco de pirâmide de altura \(h\) com áreas das bases \(A_M\) (maior) e \(A_m\) (menor)?
- \(V=\dfrac{h}{3}\,(A_M+A_m)\)
- \(V=\dfrac{h}{3}\,(A_M+\sqrt{A_MA_m}+A_m)\)
- \(V=\dfrac{h}{2}\,(A_M+A_m)\)
- \(V=\dfrac{h}{6}\,(P_M+P_m)\)
Correção: \( \mathbf{V=\dfrac{h}{3}\,(A_M+\sqrt{A_MA_m}+A_m)} \).
Gabarito: B
Q9 — Área lateral (triangular)
Pirâmide triangular regular com lado da base \(a=8\ \text{cm}\) e apótema da pirâmide \(m=15\ \text{cm}\). A área lateral é:
- \(120\ \text{cm}^2\)
- \(150\ \text{cm}^2\)
- \(180\ \text{cm}^2\)
- \(240\ \text{cm}^2\)
\(A_l=\frac{P m}{2}=\frac{3a\cdot m}{2}=\frac{24\cdot15}{2}=\mathbf{180}\ \text{cm}^2\).
Gabarito: C
Q10 — Capacidade (unidades)
Um reservatório em pirâmide quadrangular tem lado da base \(a=1{,}2\ \text{m}\) e altura \(h=2{,}4\ \text{m}\). A capacidade em litros é:
- \(864\ \text{L}\)
- \(960\ \text{L}\)
- \(1\,152\ \text{L}\)
- \(1\,350\ \text{L}\)
\(A_b=a^2=1{,}44\). \(V=\frac{1}{3}\cdot1{,}44\cdot2{,}4=1{,}152\ \text{m}^3= \mathbf{1\,152\ \text{L}}\).
Gabarito: C
