Poliedros de Platão — guia completo
Os cinco poliedros convexos regulares: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro. Propriedades, tabela (F, V, E e volumes), bloco de áreas, dualidade, planificações e exercícios com gabarito.
1) O que são os Poliedros de Platão?
São os únicos poliedros convexos regulares: faces congruentes e regulares; mesmo número de faces em cada vértice. Todos satisfazem a Relação de Euler para convexos: \(V – E + F = 2\).
2) Tabela (F, V, E e Volume)
Fórmulas em função da aresta \(a\). No celular, cada linha vira um cartão.
| Sólido | Faces (tipo) | F | V | E | Volume \(V\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro regular | 4 triângulos equiláteros | 4 | 4 | 6 | \(V=\dfrac{a^3}{6\sqrt{2}}\) |
| Hexaedro (cubo) | 6 quadrados | 6 | 8 | 12 | \(V=a^3\) |
| Octaedro regular | 8 triângulos equiláteros | 8 | 6 | 12 | \(V=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\,a^3\) |
| Dodecaedro regular | 12 pentágonos regulares | 12 | 20 | 30 | \(V=\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}\,a^3\) |
| Icosaedro regular | 20 triângulos equiláteros | 20 | 12 | 30 | \(V=\dfrac{5(3+\sqrt{5})}{12}\,a^3\) |
3) Fórmulas de Área Total (aresta \(a\))
\(A=\sqrt{3}\,a^2\)
\(A=6a^2\)
\(A=2\sqrt{3}\,a^2\)
\(A=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\,a^2\)
\(A=5\sqrt{3}\,a^2\)
Dica: confirme as áreas via planificação — some as áreas dos polígonos idênticos.
4) Dualidade entre os poliedros
- Tetraedro ↔ tetraedro (auto-dual).
- Cubo ↔ Octaedro.
- Dodecaedro ↔ Icosaedro.
Na dualidade, face ↔ vértice e o número de arestas coincide. Em símbolos de Schlӓfli, ocorre \(\{p,q\} \leftrightarrow \{q,p\}\).
5) Planificações e aplicações
As planificações (redes) são compostas por polígonos regulares congruentes. Excelentes para projetos didáticos, cálculo de área total e montagem de modelos.
- CG/Engenharia: malhas base para esferas (icosaedro).
- Arquitetura/Design: módulos e domos.
- Química/Mat. Materiais: simetrias e empacotamentos.
6) Exemplos resolvidos (contas na vertical)
Enunciado. Um cubo tem aresta \(a=7\ \text{cm}\). Calcule a área total e o volume.
Ver solução
Área total
$$\begin{aligned} A&=6a^2\\ &=6\cdot7^2\\ &=6\cdot49\\ &=\mathbf{294\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$Volume
$$\begin{aligned} V&=a^3\\ &=7^3\\ &=343\\ &=\mathbf{343\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Enunciado. Um tetraedro regular possui aresta \(a=12\ \text{cm}\). Calcule o volume.
Ver solução
$$\begin{aligned} V&=\frac{a^3}{6\sqrt2}\\ &=\frac{12^3}{6\sqrt2}\\ &=\frac{1728}{6\sqrt2}\\ &=\frac{288}{\sqrt2}\\ &=\frac{288\sqrt2}{2}\\ &=\mathbf{144\sqrt2\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Enunciado. Um icosaedro regular tem aresta \(a=5\ \text{cm}\). Calcule a área total.
Ver solução
$$\begin{aligned} A&=5\sqrt3\,a^2\\ &=5\sqrt3\cdot25\\ &=\mathbf{125\sqrt3\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$
7) Exercícios propostos (gabarito em abre/fecha)
O octaedro é dual de qual sólido de Platão?
Gabarito
Cubo (hexaedro).Um dodecaedro regular com \(a=4\ \text{cm}\). Calcule o volume.
Gabarito
$$\begin{aligned} V&=\frac{15+7\sqrt5}{4}\,a^3\\ &=\frac{15+7\sqrt5}{4}\cdot64\\ &=16(15+7\sqrt5)\\ &=\mathbf{240+112\sqrt5\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Mostre que cada sólido da tabela satisfaz \(V-E+F=2\).
Gabarito
Cubo \(8-12+6=2\); octaedro \(6-12+8=2\); tetraedro \(4-6+4=2\); dodecaedro \(20-30+12=2\); icosaedro \(12-30+20=2\).
