Pontos Notáveis do Triângulo

Pontos Notáveis do Triângulo: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro

Pontos Notáveis do Triângulo

Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro — definições, e exercícios resolvidos com passos em linhas separadas.

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O que são “pontos notáveis”?

Chamamos de pontos notáveis do triângulo os pontos definidos pela concorrência (interseção) de segmentos ou retas especiais. Os quatro clássicos são:

Baricentro (G): encontro das medianas. Medianas e baricentro.
Incentro (I): encontro das bissetrizes internas. Bissetrizes e incentro.
Circuncentro (O): encontro das mediatrizes dos lados. Base de congruência.
Ortocentro (H): encontro das alturas. Alturas e ortocentro.

Cada ponto notável tem interpretação geométrica (centro de massa, círculo inscrito, círculo circunscrito, etc.) e posição que varia conforme o tipo de triângulo.

Baricentro (G) — encontro das medianas

Definição. Interseção das três medianas do triângulo.

Propriedade. Divide cada mediana na razão 2:1 (do vértice para o baricentro é o dobro).

Triângulo ABC com medianas concorrendo no baricentro G

Nota: o baricentro é o centro de gravidade do triângulo.

Exercício 1 — Verdadeiro ou falso (conceitos)

I) O baricentro é sempre interno. II) É o encontro das mediatrizes. III) É equidistante dos vértices. Assinale a correta (A) I (B) II (C) III (D) I e III (E) Todas.

Ver solução

I) Verdadeira.
II) Falsa — encontro das mediatrizes define o circuncentro.
III) Falsa — o ponto equidistante dos vértices é o circuncentro.

Gabarito: A.

Exercício 2 — Baricentro no plano cartesiano

Dado $A(-1,-2)$, $B(3,5)$ e $C(4,-3)$, determine o baricentro $G$.

Ver solução

No plano, o baricentro é a média das coordenadas:

$$ G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\,\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) $$
$$ = \left(\frac{-1+3+4}{3},\,\frac{-2+5-3}{3}\right) $$
$$ = \left(\frac{6}{3},\,\frac{0}{3}\right) $$
$$ = (2,0). $$

Gabarito: $G(2,0)$.

Leitura: medianas e baricentro • exercícios

Incentro (I) — encontro das bissetrizes internas

Definição. Interseção das três bissetrizes internas.

Triângulo com bissetrizes internas concorrendo no incentro I

Propriedade. É equidistante dos lados (centro da circunferência inscrita).

Circunferência inscrita tocando os três lados

Exercício 1 — Raio da inscrita em triângulo retângulo

Num triângulo retângulo com catetos 9 e 12, determine o raio $r$ da inscrita.

Ver solução

$$ c=\sqrt{9^2+12^2}=15 $$
$$ A=\frac{9\cdot12}{2}=54 $$
$$ s=\frac{9+12+15}{2}=18 $$
$$ r=\frac{A}{s}=\frac{54}{18}=3. $$

Gabarito: $r=3$.

Exercício 2 — Triângulo 13–14–15

Para lados $13$, $14$ e $15$, calcule o raio $r$ do círculo inscrito.

Ver solução

$$ s=\frac{13+14+15}{2}=21 $$
$$ A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$
$$ =\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)} $$
$$ =\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84 $$
$$ r=\frac{A}{s}=\frac{84}{21}=4. $$

Gabarito: $r=4$.

Leitura: bissetrizes e incentro

Circuncentro (O) — encontro das mediatrizes

Definição. Interseção das mediatrizes dos lados.

Triângulo com mediatrizes concorrendo no circuncentro O

Propriedade. É equidistante dos vértices (centro da circunferência circunscrita).

Circunferência circunscrita passando pelos três vértices

Exercício 1 — Triângulo retângulo (coordenadas)

Considere $A(0,0)$, $B(8,0)$, $C(0,6)$. Determine $O$ e o raio $R$.

Ver solução

$$ O=\left(\frac{8+0}{2},\,\frac{0+6}{2}\right)=(4,3) $$
$$ |BC|=\sqrt{(8-0)^2+(0-6)^2} $$
$$ =\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 $$
$$ R=\frac{|BC|}{2}=\frac{10}{2}=5. $$

Gabarito: $O(4,3)$ e $R=5$.

Exercício 2 — Triângulo equilátero

Num equilátero de lado $a=6$, determine $R$.

Ver solução

$$ R=\frac{a}{\sqrt{3}} $$
$$ =\frac{6}{\sqrt{3}} $$
$$ =2\sqrt{3}. $$

Gabarito: $R=2\sqrt{3}$.

Ortocentro (H) — encontro das alturas

Definição. Interseção das retas-suporte das alturas.

Posição. Acutângulo: interno; Retângulo: o vértice do ângulo reto; Obtusângulo: externo.

Triângulo com alturas concorrendo no ortocentro H

Exercício 1 — Triângulo retângulo

Com $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,8)$ (ângulo reto em $A$), determine $H$.

Ver solução

$$ \text{Em triângulo retângulo, } H \text{ coincide com o vértice do ângulo reto.} $$
$$ H=A $$
$$ H=(0,0). $$

Gabarito: $H(0,0)$.

Exercício 2 — Triângulo equilátero

Num equilátero de lado $a$, mostre que $H$ coincide com os demais centros e calcule a distância desse ponto a cada lado.

Ver solução

$$ G=I=O=H \quad (\text{todas as linhas notáveis coincidem}) $$
$$ h=\frac{\sqrt{3}}{2}a $$
$$ r=\frac{h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}. $$

Gabarito: Centros coincidem e a distância a cada lado é $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.

Leitura: alturas e ortocentro

Resumo rápido

Baricentro (G): encontro das medianas; razão 2:1; centro de gravidade.
Incentro (I): encontro das bissetrizes internas; equidistante dos lados; círculo inscrito.
Circuncentro (O): encontro das mediatrizes; equidistante dos vértices; círculo circunscrito.
Ortocentro (H): encontro das alturas; posição depende do tipo de triângulo.

Pratique mais: Exercícios – Pontos Notáveis do Triângulo.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.