Guia prático
Porcentagem Sucessiva
Como calcular variações em sequência (+a%, −b%, …), encontrar a taxa única equivalente e reverter quedas. Com exemplos e exercícios.
Para revisar fundamentos, veja: Porcentagem, Porcentagem simples, Aumento e desconto percentual e Variação percentual. Para contas cuidadosas: Frações e Expressões numéricas.
O que é porcentagem sucessiva?
Visão geral (fator total)
\[
\boxed{F=(1+t_1)(1+t_2)\cdots(1+t_n)}
\]
Valor final: \( \text{Novo}=\text{Antigo}\cdot F \)
Taxa única equivalente: \( r_{\text{eq}}=F-1 \) → \( (F-1)\cdot100\% \)
- \(t_i\) é a taxa em decimal (ex.: +12% → \(t=0{,}12\), −30% → \(t=-0{,}30\)).
- Em sequência, multiplicamos fatores; não somamos as porcentagens.
Fórmulas-chave (mais claras)
Como calcular (passo a passo)
- Converta cada taxa: \(a\%\to a/100\) (decimal).
- Monte os fatores \(1+t_i\) e multiplique.
- Se quiser a taxa única: \( r_{\text{eq}}=(F-1)\cdot100\% \).
Exemplo rápido:
\(+12\%, -10\%, +8\%\Rightarrow F=1{,}12\cdot0{,}90\cdot1{,}08=1{,}087\Rightarrow \Delta\%=8{,}7\%\).
Reverter uma queda
\[
\boxed{r=\frac{1}{1-d}-1}\qquad\text{(se houve queda \(d\))}
\]
Ex.: cai 30% → \( r=\tfrac1{0{,}7}-1=42{,}857\% \).
Não some taxas! +10% e depois +10% dá \(1{,}10^2=1{,}21\) → +21%, e não 20%.
Exemplos passo a passo
- Sobre R$ 600, aplique +10% e depois +5%.
Ver solução
\(F=1{,}10\cdot1{,}05=1{,}155\Rightarrow \text{Novo}=600\cdot1{,}155=693\).
\(r_{\text{eq}}=0{,}155=15{,}5\%\).
Consulte: variação percentual. - Sobre R$ 250, aplique +20% e depois −10%.
Ver solução
\(F=1{,}20\cdot0{,}90=1{,}08\Rightarrow \text{Novo}=250\cdot1{,}08=270\).
\(r_{\text{eq}}=+8\%\).
Revisar: aumento e desconto. - −25% e depois +25% sobre R$ 200.
Ver solução
\(F=0{,}75\cdot1{,}25=0{,}9375\Rightarrow \text{Novo}=200\cdot0{,}9375=187{,}50\).
\(r_{\text{eq}}=-6{,}25\%\) (não zera!). - +12%, +8% e −5% sobre R$ 1.000. Qual a taxa única?
Ver solução
\(F=1{,}12\cdot1{,}08\cdot0{,}95=1{,}14912\).
\(r_{\text{eq}}=14{,}912\%\). Valor final \(=1\,000\cdot1{,}14912=1\,149{,}12\).
Erros comuns (e como evitar)
- Somar taxas. Em porcentagem sucessiva, as taxas se multiplicam como fatores.
- Esquecer a base muda. No segundo passo, a base já é o valor atualizado do primeiro.
- Arredondar cedo demais. Guarde 4–5 casas nos fatores; arredonde só no final.
🧠 Exercícios propostos
Resolva e depois confira no gabarito. Quando necessário, use expressões numéricas e frações.
- R$ 350: +12% e depois +8% → valor final e taxa equivalente.
- R$ 480: +15% e depois −10% → valor final e variação.
- R$ 900: −18% e depois −5% → valor final e variação.
- R$ 1.200: +6% ao mês por 4 meses → valor final e variação.
- Três altas de 5% → taxa única equivalente.
- Após +25%, qual desconto \(x\%\) devolve ao original?
- R$ 800 → R$ 840 após +12% e depois \(x\%\). Encontre \(x\).
- Duas altas de 10% equivalem a uma alta de ___ %.
- Preço 150 cai para 120 por dois descontos iguais. Encontre a taxa \(d\) de cada desconto.
- Promoção “leve 5 pague 4” + cupom de 10% depois. Desconto total?
- Preço 200 com impostos sucessivos: +17% e +5%. Valor final e variação.
- Dois descontos: 10% e 15%. Qual aumento único recoloca no valor inicial?
📘 Gabarito (clique para ver)
Ver gabarito
-
\(F=1{,}12\cdot1{,}08=1{,}2096\Rightarrow \text{Final}=350\cdot1{,}2096=423{,}36\).
\(r_{\text{eq}}=20{,}96\%\). -
\(F=1{,}15\cdot0{,}90=1{,}035\Rightarrow \text{Final}=480\cdot1{,}035=496{,}80\).
\(\Delta\%=+3{,}5\%\). -
\(F=0{,}82\cdot0{,}95=0{,}779\Rightarrow \text{Final}=900\cdot0{,}779=701{,}10\).
\(\Delta\%=-22{,}1\%\). -
\(F=1{,}06^4=1{,}26247696\Rightarrow \text{Final}=1\,200\cdot1{,}26247696=1\,514{,}97\).
\(\Delta\%\approx +26{,}25\%\). - \(F=1{,}05^3=1{,}157625\Rightarrow r_{\text{eq}}=15{,}7625\%\).
- \((1+0{,}25)(1-x)=1\Rightarrow 1-x=\tfrac1{1{,}25}=0{,}8\Rightarrow x=20\%\).
- \(800\cdot1{,}12\cdot(1+x)=840\Rightarrow 896(1+x)=840\Rightarrow 1+x=0{,}9375\Rightarrow x=-6{,}25\%\).
- \(1{,}10^2=1{,}21\Rightarrow \) alta de 21%.
- \((1-d)^2=\tfrac{120}{150}=0{,}8\Rightarrow 1-d=\sqrt{0{,}8}\approx0{,}894427\Rightarrow d\approx10{,}56\%\).
- \(F=\tfrac45\cdot0{,}90=0{,}72\Rightarrow \) desconto total \(=28\%\).
-
\(F=1{,}17\cdot1{,}05=1{,}2285\Rightarrow \text{Final}=200\cdot1{,}2285=245{,}70\).
\(\Delta\%=+22{,}85\%\). - \(F_{\text{queda}}=0{,}90\cdot0{,}85=0{,}765\Rightarrow r=\frac{1}{0{,}765}-1\approx0{,}30719=30{,}72\%\).
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📝 Quiz — Porcentagem Sucessiva
Escolha a alternativa e clique em Conferir (ou Corrigir tudo). As explicações têm links para revisar a teoria.
- Sobre R$ 600, aplique +10% e depois +5%. Valor final?\(F=1{,}10\cdot1{,}05=1{,}155\Rightarrow 600\cdot1{,}155=693\). Veja taxas sucessivas.
- Sobre R$ 400, aplique −25% e depois +25%. Valor final?\(F=0{,}75\cdot1{,}25=0{,}9375\Rightarrow 400\cdot0{,}9375=375\). Não some taxas! aumento e desconto.
- +12% e depois −10% equivalem a uma variação única de…\(F=1{,}12\cdot0{,}90=1{,}008\Rightarrow r_{\text{eq}}=0{,}8\%\). Revisar: taxa equivalente.
- Três aumentos de 5% equivalem a um aumento único de…\(1{,}05^3=1{,}157625\Rightarrow 15{,}7625\%\approx 15{,}76\%\).
- Preço 150 cai para 120 por dois descontos iguais. Cada desconto é de…\((1-d)^2=\tfrac{120}{150}=0{,}8\Rightarrow 1-d=\sqrt{0{,}8}\approx0{,}894427\Rightarrow d\approx10{,}56\%\).
- Após um aumento de 25%, qual desconto devolve ao valor original?\((1+0{,}25)(1-x)=1\Rightarrow 1-x=\tfrac1{1{,}25}=0{,}8\Rightarrow x=20\%\). Veja reversão.
- Preço 200 sofre +17% e depois +5%. Valor final?\(F=1{,}17\cdot1{,}05=1{,}2285\Rightarrow 200\cdot1{,}2285=245{,}70\).
- Promoção “leve 5 pague 4” + cupom de 10% (após). Desconto total?Fator \(=\tfrac{4}{5}\cdot0{,}90=0{,}72\Rightarrow\) desconto \(=1-0{,}72=0{,}28=28\%\). Dica: use frações.
- Rendimento de +8% ao mês por 6 meses (composto). Variação total?\(1{,}08^6\approx1{,}586874\Rightarrow \Delta\%\approx58{,}69\%\). Leia: composição de taxas.
- De R$ 800, aplicar +12% e depois \(x\%\) para chegar a R$ 900. \(x\) vale…\(800\cdot1{,}12\cdot(1+x)=900\Rightarrow 896(1+x)=900\Rightarrow 1+x=\tfrac{900}{896}\approx1{,}004464\Rightarrow x\approx0{,}45\%\).
