Potenciação — Guia Completo (regras, exemplos e exercícios)
A potenciação é uma forma compacta de representar multiplicações de um mesmo fator: \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\ \text{vezes}}\). Dominar as leis de expoentes é essencial para resolver expressões numéricas. Para o estudo conjunto com raízes, veja Expressões Numéricas com Potenciação e Radiciação. Complete o ciclo com: Expressões com Frações, Racionais e Decimais, Inteiros e Naturais. Para o panorama geral, consulte Conjuntos Numéricos.
Ordem de prioridade (resumo): Agrupamentos \((\,)\), \([\ ]\), \(\{\ \}\) →
potenciação / radiciação → multiplicação/divisão → soma/subtração.
Quadro-Resumo: Propriedades da Potenciação
| Propriedade | Regra | Exemplo |
|---|---|---|
| Produto (mesma base) | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) | \( 2^3\cdot2^5=2^{8}=256 \) |
| Quociente (mesma base) | \( \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\neq0) \) | \( \dfrac{3^7}{3^4}=3^3=27 \) |
| Potência de potência | \( (a^m)^n=a^{mn} \) | \( (5^2)^3=5^6 \) |
| Potência de produto | \( (ab)^n=a^n b^n \) | \( (2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4 \) |
| Potência de quociente | \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\ (b\neq0) \) | \( \left(\dfrac{6}{5}\right)^2=\dfrac{36}{25} \) |
| Expoente zero | \( a^0=1\ (a\neq0) \) | \( (-7)^0=1 \) |
| Expoente negativo | \( a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\ (a\neq0) \) | \( 10^{-3}=\dfrac{1}{1000} \) |
| Base negativa (parênteses!) | Se \(n\) par, \((-a)^n\!>\!0\); se \(n\) ímpar, \((-a)^n\!<\!0\) | \( (-3)^2=9,\quad -3^2=-(3^2)=-9 \) |
| Expoente fracionário | \( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m \) (para \(a\ge0\) se \(n\) par) | \( 27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9 \) |
Cuidado: não existem regras gerais para somar potências de mesma base:
\(a^m+a^n\neq a^{m+n}\) e
\( (a+b)^n\neq a^n+b^n \) (exceto casos específicos).
Exemplos Resolvidos
- Questão 1. \( (-3)^4 \div 3^2 \cdot 3 \)
Solução
\( (-3)^4=81,\ 3^2=9 \Rightarrow 81\div9\cdot3=9\cdot3=27 \).Resposta: 27
- Questão 2. \( (-2)^4 – (-2^4) \)
Solução
\( (-2)^4=16;\ -2^4=-(2^4)=-16 \Rightarrow 16-(-16)=32 \).Resposta: 32
- Questão 3. \( 81^{\frac{3}{4}} \)
Solução
\( 81^{3/4}=(\sqrt[4]{81})^3=3^3=27 \).Resposta: 27
- Questão 4. \( \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}\cdot \dfrac{9}{16} \)
Solução
\( (\tfrac{3}{4})^{-2}=(\tfrac{4}{3})^2=\tfrac{16}{9};\ \tfrac{16}{9}\cdot\tfrac{9}{16}=1 \).Resposta: 1
- Questão 5. \( (2{,}5\times10^3)(4\times10^{-2})\div(5\times10^1) \)
Solução
\((2{,}5\cdot4)\times10^{3-2}=10\times10^{1}=100;\ \ 100\div(5\times10)=100\div50=2\).Resposta: 2
🧠 Exercícios Propostos (Potenciação)
Resolva e confira no gabarito interativo abaixo.
- \( 2^3\cdot 2^5 \div 2^4 \)
- \( \dfrac{\big((-3)^2\big)^3}{(-3)^4} \)
- \( (-2)^5 + (-2)^4 \)
- \( \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}\cdot \dfrac{9}{16} \)
- \( 125^{\frac{2}{3}} \)
- \( 81^{-\frac{1}{2}} + 3^{-2} \)
- \( \dfrac{2^3\cdot 5^2}{10^{-1}} \)
- \( \dfrac{16^{\frac{3}{4}}}{2^3} \)
- \( \dfrac{5^{-1}\cdot 25^{\frac{1}{2}}}{125^{\frac{1}{3}}} \)
- \( (-4)^2\cdot (-4)^3 \)
- \( \big(\tfrac{3}{5}\big)^0 + 7^0 \)
- \( \dfrac{\big(2^{-3}\big)^{-2}}{2^5} \)
📘 Gabarito com Soluções Passo a Passo
1)
\(2^{3+5-4}=2^4=16\).
Resposta: 16
2)
\(((-3)^2)^3=(-3)^6=729;\ (-3)^4=81;\ 729\div81=9\).
Resposta: 9
3)
\( (-2)^5=-32;\ (-2)^4=16;\ -32+16=-16\).
Resposta: -16
4)
\((\tfrac{3}{4})^{-2}=(\tfrac{4}{3})^2=\tfrac{16}{9};\ \cdot\tfrac{9}{16}=1\).
Resposta: 1
5)
\(125^{2/3}=(\sqrt[3]{125})^2=5^2=25\).
Resposta: 25
6)
\(81^{-1/2}=\tfrac{1}{\sqrt{81}}=\tfrac{1}{9};\ 3^{-2}=\tfrac{1}{9};\ \Rightarrow \tfrac{2}{9}\).
Resposta: \(\tfrac{2}{9}\)
7)
\(2^3=8;\ 5^2=25;\ 8\cdot25=200;\ \div10^{-1}= \times10^{1}\Rightarrow 200\cdot10=2000\).
Resposta: 2000
8)
\(16^{3/4}=(2^4)^{3/4}=2^3=8;\ 8\div2^3=8\div8=1\).
Resposta: 1
9)
\(5^{-1}=\tfrac{1}{5};\ \sqrt{25}=5\Rightarrow \text{numerador}=1;\ \sqrt[3]{125}=5\Rightarrow \text{denominador}=5;\ \tfrac{1}{5}\).
Resposta: \(\tfrac{1}{5}\) (0,2)
10)
Mesma base: \((-4)^2\cdot(-4)^3=(-4)^{2+3}=(-4)^5=-1024\).
Resposta: -1024
11)
\((\tfrac{3}{5})^0=1;\ 7^0=1 \Rightarrow 1+1=2\).
Resposta: 2
12)
\((2^{-3})^{-2}=2^{6}=64;\ 64\div2^5=2^{6-5}=2\).
Resposta: 2
🔗 Leia também
Quiz de Potenciação
Acertos: 0/12- \( 2^3\cdot 2^5 \div 2^4 \)
Solução
\(2^{3+5-4}=2^4=16\). - \( \dfrac{\big((-3)^2\big)^3}{(-3)^4} \)
Solução
\(((-3)^2)^3=(-3)^6=729;\ (-3)^4=81;\ 729/81=9\). - \( (-2)^5 + (-2)^4 \)
Solução
\( (-2)^5=-32,\ (-2)^4=16 \Rightarrow -32+16=-16\). - \( \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}\cdot \dfrac{9}{16} \)
Solução
\((\tfrac{3}{4})^{-2}=(\tfrac{4}{3})^2=\tfrac{16}{9};\ \tfrac{16}{9}\cdot\tfrac{9}{16}=1\). - \( 125^{\frac{2}{3}} \)
Solução
\(125^{2/3}=(\sqrt[3]{125})^2=5^2=25\). - \( 81^{-\frac{1}{2}} + 3^{-2} \)
Solução
\(81^{-1/2}=\tfrac{1}{\sqrt{81}}=\tfrac{1}{9};\ 3^{-2}=\tfrac{1}{9} \Rightarrow \tfrac{2}{9}\). - \( \dfrac{2^3\cdot 5^2}{10^{-1}} \)
Solução
\(2^3=8,\ 5^2=25 \Rightarrow 8\cdot25=200;\ \div10^{-1}=\times10^{1}\Rightarrow 2000\). - \( \dfrac{16^{\frac{3}{4}}}{2^3} \)
Solução
\(16^{3/4}=(2^4)^{3/4}=2^3=8;\ 8/2^3=8/8=1\). - \( \dfrac{5^{-1}\cdot 25^{\frac{1}{2}}}{125^{\frac{1}{3}}} \)
Solução
\(5^{-1}=\tfrac{1}{5};\ \sqrt{25}=5 \Rightarrow \text{numerador}=1;\ \sqrt[3]{125}=5 \Rightarrow \tfrac{1}{5}\). - \( (-4)^2\cdot (-4)^3 \)
Solução
Mesma base: \((-4)^2\cdot(-4)^3=(-4)^{2+3}=(-4)^5=-1024\). - \( \left(\tfrac{3}{5}\right)^0 + 7^0 \)
Solução
Qualquer \(a\neq0\): \(a^0=1\). Logo \(1+1=2\). - \( \dfrac{\big(2^{-3}\big)^{-2}}{2^5} \)
Solução
\((2^{-3})^{-2}=2^{6}=64;\ \dfrac{64}{2^5}=2^{6-5}=2\).
