Potenciação: 18 Questões Resolvidas Passo a Passo com Fatoração, Propriedades e Aplicações

a) \( 5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3} \approx 3{,}344 \)

b) \( 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} \approx 3{,}162 \)

c) \( 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}260 \)

d) \( 3^{0{,}25} = \sqrt[4]{3} \approx 1{,}316 \)

e) \( \pi^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\pi} \approx 1{,}331 \)

f) \( 3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577 \)

a) Somamos os expoentes: \( 3^4 \cdot 3^5 \cdot 3^9 = 3^{4+5+9} = 3^{18} \)

b) Multiplicamos potências e somamos: \( (x^3)^4 = x^{12} \Rightarrow x^{12} \cdot x^{12} = x^{24} \)

c) \( 7^9 \cdot 7^4 \cdot 7^{13} = 7^{9+4+13} = 7^{26} \)

d) Primeiro dividimos: \( \dfrac{10^{12}}{10^5} = 10^{7} \). Depois, \( 10^7 \cdot 10^7 = 10^{14} \)

e) \( (10^3)^2 = 10^{6} \Rightarrow 10^6 \cdot 10^6 = 10^{12} \)

f) Somamos os expoentes: \[ a^{n+1} \cdot a^{n-2} \cdot a^{2n-1} = a^{(n+1)+(n-2)+(2n-1)} = a^{4n – 2} \]

a) \( \dfrac{1}{3^2} = 3^{-2} \)

b) \( \dfrac{1}{10^4} = 10^{-4} \)

c) \( \dfrac{1}{2^5} = 2^{-5} \)

d) \( \dfrac{1}{6^2} = 6^{-2} \)

e) \( \dfrac{1}{2} = 2^{-1} \)

f) \( \dfrac{1}{a^2} = a^{-2} \)

a) \( 5^{1,5} \approx 11,180 \)

b) \( 12^{\frac{1}{4}} \approx 1,861 \)

c) \( 28^{0,25} \approx 2,300 \)

d) \( 3^{4,5} \approx 140,296 \)

e) \( 2^{2,6} \approx 6,063 \)

f) \( \left( \dfrac{5}{3} \right)^{1,25} \approx 1,894 \)

g) \( 3^{\sqrt[5]{5}} \approx 11,665 \)

h) \( 10^{\sqrt[3]{3}} \approx 53,957 \)

a) \( 299\,793\,458 \approx 2{,}998 \times 10^8 \)

b) \( 12\,742 \approx 1{,}274 \times 10^4 \)

c) \( 0{,}00011 \approx 1{,}1 \times 10^{-4} \)

a)

• Multiplicamos os números decimais: \( 2{,}0 \cdot 4{,}0 = 8{,}0 \)
• Multiplicamos as potências de base 10: \( 10^3 \cdot 10^{-5} = 10^{3 + (-5)} = 10^{-2} \)
• Resposta final: \( 8{,}0 \cdot 10^{-2} \)

b)

• Dividimos os números decimais: \( \dfrac{5{,}2}{1{,}3} = 4{,}0 \)
• Dividimos as potências de base 10: \( 10^6 \div 10^{-3} = 10^{6 – (-3)} = 10^9 \)
• Resposta final: \( 4{,}0 \cdot 10^9 \)

c)

• Multiplicamos os decimais: \( 1{,}5 \cdot 2{,}0 \cdot 4{,}0 = 12{,}0 \)
• Somamos os expoentes das potências de base 10: \( 10^3 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-8} = 10^{3 + (-5) + (-8)} = 10^{-10} \)
• Agora, ajustamos o número 12,0 para notação científica: \( 12{,}0 \cdot 10^{-10} = 1{,}2 \cdot 10^{-9} \)
• Resposta final: \( 1{,}2 \cdot 10^{-9} \)

a) Cálculos:

• \( a = 3^3 = 27 \)
• \( b = (-2)^3 = -8 \)
• \( c = 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \)
• \( d = (-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8} \)

b) Ordem crescente:

Comparando os valores:

• \( b = -8 \)
• \( d = -\dfrac{1}{8} \approx -0{,}125 \)
• \( c = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}111 \)
• \( a = 27 \)

Resposta final: \( -8; -\dfrac{1}{8}; \dfrac{1}{9}; 27 \)

Sabemos que metade de um número equivale a dividir por 2:

$$ \text{Metade de } 2^{2012} = \dfrac{2^{2012}}{2} $$

Como \( 2 = 2^1 \), temos:

$$ \dfrac{2^{2012}}{2^1} = 2^{2012 – 1} = 2^{2011} $$

Resposta final: \( \boxed{2^{2011}} \)

Passo 1: Aplicar a propriedade de soma de expoentes:

Numerador: \( 4^{x+2} \cdot 4^{x-2} = 4^{(x+2)+(x-2)} = 4^{2x} \)

Denominador: \( 4^x \cdot 4^{x-1} = 4^{x + (x – 1)} = 4^{2x – 1} \)

Passo 2: Divisão de potências de mesma base:

\[ \frac{4^{2x}}{4^{2x – 1}} = 4^{2x – (2x – 1)} = 4^1 = 4 \]

Resposta final: \( \boxed{4} \)

Passo 1: Fatorar o numerador:

\( 3^{12} – 3^{11} – 3^{10} \)
Colocando \( 3^{10} \) em evidência: \[ = 3^{10}(3^2 – 3 – 1) = 3^{10}(9 – 3 – 1) = 3^{10} \cdot 5 \]

Passo 2: Fatorar o denominador:

\( 3^{11} + 3^{10} + 3^{10} = 3^{11} + 2 \cdot 3^{10} \)
Colocando \( 3^{10} \) em evidência: \[ = 3^{10}(3 + 2) = 3^{10} \cdot 5 \]

Passo 3: Efetuar a divisão:

\[ \frac{3^{10} \cdot 5}{3^{10} \cdot 5} = 1 \]

Passo 4: Multiplicação final:

\( 1 \cdot 1 = 1 \)

Resposta final: \( \boxed{1} \)

Passo 1: O algarismo das unidades de \( 12^n \) é o mesmo que o algarismo das unidades de \( 2^n \), pois o número termina em 2.

Vamos analisar os últimos dígitos de \( 2^n \):

• \( 2^1 = 2 \) → termina em 2
• \( 2^2 = 4 \) → termina em 4
• \( 2^3 = 8 \) → termina em 8
• \( 2^4 = 16 \) → termina em 6
• \( 2^5 = 32 \) → termina em 2

Os últimos dígitos de \( 2^n \) formam um ciclo de 4: 2, 4, 8, 6.

Passo 2: Procuramos o maior valor de \( n \) no intervalo \( [78, 155] \) tal que \( 2^n \) termine em 6.

Como o ciclo se repete a cada 4, a posição da unidade 6 ocorre quando:

$$ n \equiv 0 \pmod{4} $$

Passo 3: Dentro do intervalo, o maior valor de \( n \) tal que \( n \equiv 0 \pmod{4} \) é:

$$ n = 152 $$

Resposta final: \( \boxed{n = 152} \)

a) \( 27 \cdot 8 = 216 = 6^3 \), então: \[ (6^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{6}} = 6^{-1} \cdot 6^{\frac{1}{6}} = 6^{-\frac{5}{6}} \] Resultado: \( \boxed{6^{-\frac{5}{6}}} \)

b) Soma dos expoentes: \[ 4 + \frac{7}{4} – \frac{1}{2} = \frac{16}{4} + \frac{7}{4} – \frac{2}{4} = \frac{21}{4} \] Resultado: \( \boxed{81^{\frac{21}{4}}} = \boxed{243} \)

c) Potência de potência: \[ (8^{\frac{4}{3}})^{-\frac{1}{2}} = 8^{-\frac{4}{6}} = 8^{-\frac{2}{3}} \] Sabemos que \( 8 = 2^3 \), então: \[ 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \] Resultado: \( \boxed{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}} \)

d) Soma dos expoentes: \[ 7^{4,3 – 2,6 + 0,3} = 7^{2} = \boxed{49} \]

e) Primeiro fator: \[ \left(\frac{1}{625}\right)^{-\frac{1}{4}} = 625^{\frac{1}{4}} = 5 \] Segundo fator: \[ \left(\frac{64}{125}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{2^6}{5^3}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{2^2}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{4} \] Resultado final: \[ 5 \cdot \frac{5}{4} = \boxed{\frac{25}{4}} \]

Erro: A passagem 3 está incorreta. A notação está errada e confusa. A operação correta era:

\[ 5^{(1 + \sqrt{3}) – (\sqrt{3} – 1)} = 5^{1 + \sqrt{3} – \sqrt{3} + 1} = 5^2 \]

Resposta correta: \[ 5^2 = \boxed{25} \]

Passo 1: Multiplicar os termos do numerador:

\( 60000 \cdot 0{,}00009 = 5{,}4 \)

Passo 2: Dividir pelo denominador:

\( \dfrac{5{,}4}{0{,}0002} = 27000 \)

Passo 3: Calcular a raiz cúbica:

\( \sqrt[3]{27000} = 30 \), pois \( 30^3 = 27000 \)

Passo 4: Elevar a 30ª potência:

\( 30^{30} \)

Resposta final: \[ \boxed{30^{30}} \] (valor exato – não se exige o desenvolvimento numérico nesta questão)

Numerador:

• \( (0{,}1)^{-1} = \dfrac{1}{0{,}1} = 10 \)
• \( (0{,}8)^0 = 1 \)
• Então o numerador é: \( 10 – 1 = 9 \)

Denominador:

• \( \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-3} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 = \dfrac{27}{8} \)
• \( \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{-1} = -3 \)
• Agora multiplicamos todos os fatores:
• \( \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{27}{8} = \dfrac{54}{24} = \dfrac{9}{4} \)
• \( \dfrac{9}{4} \cdot (-3) = -\dfrac{27}{4} \)

Expressão final:

\[ \frac{9}{-\frac{27}{4}} = 9 \cdot \left( -\frac{4}{27} \right) = -\frac{36}{27} = -\frac{4}{3} \]

✅ Resposta final: \[ \boxed{-\dfrac{4}{3}} \]

1) Reescrever as potências:

• \( x = (2^2)^3 = 2^{6} \)
• \( y = 2^3 \)
• \( z = 2^{32} \)

2) Multiplicação de potências de mesma base:

\[ xyz = 2^6 \cdot 2^3 \cdot 2^{32} = 2^{6 + 3 + 32} = 2^{41} \]

✅ Resposta correta: \[ \boxed{2^{41}} \]

1) Fatorando o numerador:

\[ 10^{10}(1 + 10^{10} + 10^{20}) \]

2) Fatorando o denominador:

\[ 10^{20}(1 + 10^{10} + 10^{20}) \]

3) Cancelando fator comum:

\[ \frac{10^{10}(1 + 10^{10} + 10^{20})}{10^{20}(1 + 10^{10} + 10^{20})} = \frac{10^{10}}{10^{20}} = 10^{-10} \]

✅ Resposta final: \[ \boxed{10^{-10}} \]

1) Fatorar o numerador:

• \( 2^{n-1} + 2^n + 2^{n+1} = 2^{n-1}(1 + 2 + 4) = 2^{n-1} \cdot 7 \)
• \( 3^{n-1} + 3^n + 3^{n+1} = 3^{n-1}(1 + 3 + 9) = 3^{n-1} \cdot 13 \)

Então o numerador vira: \[ 2^{n-1} \cdot 3^{n-1} \cdot 91 = 6^{n-1} \cdot 91 \]

2) Fatorar o denominador:

\[ 6^n + 6^{n+1} = 6^n(1 + 6) = 6^n \cdot 7 \]

3) Divisão final:

\[ \frac{6^{n-1} \cdot 91}{6^n \cdot 7} = \frac{91}{7} \cdot \frac{1}{6} = 13 \cdot \frac{1}{6} = \boxed{\frac{13}{6}} \]