Potenciação e Radiciação

Olá, pessoal! Hoje vamos estudar potenciação e radiciação, conceitos fundamentais da matemática presentes em diversas situações do dia a dia.

O que é Potenciação?

A potenciação é uma forma de multiplicação de um número por ele mesmo várias vezes. Por exemplo:

\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)

Algumas regras básicas:

• \( a^1 = a \)
• \( a^0 = 1 \) (para \( a \neq 0 \))
• \( a^2 = a \cdot a \)

Propriedades da Potenciação

As propriedades tornam os cálculos mais rápidos e eficientes:

• 1. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• 2. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), para \( a \neq 0 \)
• 3. \( (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \)
• 4. \( \left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m} \)
• 5. \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Exemplo:

\( 5^4 \cdot 5^2 = 5^{4+2} = 5^6 \)

Potências com Expoente Negativo

Um expoente negativo indica o inverso da base elevada ao expoente positivo:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

Exemplo: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \).

Relação entre Potenciação e Radiciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Por exemplo:

\( \sqrt{9} = 3 \quad \text{porque} \quad 3^2 = 9 \)

Quando o expoente é uma fração:

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Exemplo: \( 4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8 \).

Propriedades da Radiciação

• 1. \( \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \)
• 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
• 3. \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)

Exemplo:

\( \sqrt[3]{27} = 3 \quad \text{pois} \quad 3^3 = 27 \)

Exercícios Propostos

Resolva os seguintes desafios para treinar:

1. \( 3^2 \cdot 3^4 \)
2. \( \frac{5^7}{5^4} \)
3. \( (2^3)^2 \)
4. \( 16^{\frac{3}{4}} \)
5. \( \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16} \)

Exercícios Resolvidos: Potenciação e Radiciação

1. Calcule: \( 3^2 \cdot 3^4 \)

2. Simplifique: \( \frac{5^7}{5^4} \)

3. Resolva: \( (2^3)^2 \)

4. Determine o valor de \( 16^{\frac{3}{4}} \).

5. Calcule: \( \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16} \).