Prisma Triangular — guia completo
Definição, elementos, fórmulas (área lateral, área total e volume), planificação, casos geral e regular (base equilátera) e exemplos resolvidos com contas na vertical.
1) O que é um prisma triangular?
Prisma triangular é um prisma cujas bases são triângulos congruentes e as faces laterais são retangulares. Se o prisma for reto, a altura do sólido é a própria aresta lateral \(h\).
- Perímetro da base: \(p\)
- Área da base: \(A_b\) (depende do triângulo da base)
- Altura do prisma: \(h\)
2) Fórmulas essenciais (qualquer prisma triangular)
Lembre: \(p\) é o perímetro do triângulo da base (soma dos 3 lados). \(A_b\) pode ser calculada por: fórmulas de área de triângulo (base×altura/2, Heron, etc.).
3) Como calcular a área da base triangular \(A_b\)?
Triângulo qualquer (Heron)
Se os lados da base são \(a,b,c\):
Casos comuns
- Retângulo (catetos \(b,c\)): \(\ A_b=\dfrac{b\,c}{2}\)
- Equilátero (lado \(a\)): \(\ A_b=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\)
- Isósceles: use base×altura/2 (altura por Pitágoras) ou Heron
Reforce: triângulo equilátero • triângulo retângulo isósceles • triângulos semelhantes.
4) Prisma triangular regular base equilátera
Se a base é equilátera (lado \(a\)), então:
- \(p=3a\)
- \(A_b=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\)
- \(A_L=3a\,h\)
- \(A_T=3a\,h+\dfrac{\sqrt3}{2}a^2\)
- \(V=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\,h\)
5) Planificação do prisma triangular
A planificação tem um retângulo de dimensões \(p\times h\) (as três faces laterais “abertas”) e duas bases triangulares congruentes. Por isso, \(A_L=p\,h\) e \(A_T=p\,h+2A_b\).
6) Exemplos resolvidos (abre/fecha)
Exemplo 1 — Prisma triangular regular: área total e volume
Dados: lado da base (equilátera) \(a=10\ \text{cm}\), altura do prisma \(h=12\ \text{cm}\). Calcule a área total e o volume.
$$\begin{aligned} p&=3a=30\\ A_b&=\frac{\sqrt3}{4}\cdot a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot100=25\sqrt3\\ A_L&=p\,h=30\cdot12=360\\[2mm] A_T&=A_L+2A_b=360+2\cdot25\sqrt3=\boxed{360+50\sqrt3\ \text{cm}^2}\\[2mm] V&=A_b\,h=25\sqrt3\cdot12=\boxed{300\sqrt3\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Exemplo 2 — Base retângula (3-4-5): área total e volume
Dados: base triangular retângula com catetos \(b=6\ \text{cm}\) e \(c=8\ \text{cm}\) (hipotenusa \(=10\ \text{cm}\)); altura do prisma \(h=15\ \text{cm}\). Calcule a área total e o volume.
$$\begin{aligned} A_b&=\frac{b\,c}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\\ p&=6+8+10=24\\ A_L&=p\,h=24\cdot15=360\\ A_T&=A_L+2A_b=360+2\cdot24=\boxed{408\ \text{cm}^2}\\ V&=A_b\,h=24\cdot15=\boxed{360\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Exemplo 3 — Base escalena (Heron): área total e volume
Dados: lados da base \(a=7\ \text{cm},\ b=9\ \text{cm},\ c=10\ \text{cm}\); altura do prisma \(h=20\ \text{cm}\). Calcule a área total e o volume.
$$\begin{aligned} s&=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+9+10}{2}=13\\ A_b&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{13\cdot6\cdot4\cdot3}\\ &=\sqrt{936}\ \approx 30{,}595\\ p&=a+b+c=26\\ A_L&=p\,h=26\cdot20=520\\ A_T&=A_L+2A_b\approx 520+2\cdot30{,}595\approx \boxed{581{,}19\ \text{cm}^2}\\ V&=A_b\,h\approx 30{,}595\cdot20\approx \boxed{611{,}90\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Arredonde conforme a necessidade do problema (1 ou 2 casas decimais).
7) Exercícios (múltipla escolha, com soluções)
1) Prisma triangular regular — área total e volume
Um prisma triangular regular tem lado da base (aresta) \(a=12\text{ cm}\) e altura do prisma \(h=15\text{ cm}\).
Calcule a área total e o volume.
Ver resposta (passo a passo)
Alternativa correta: B.
2) Base retângula — área total
Um prisma triangular tem base retângula com catetos \(9\) cm e \(12\) cm e altura do prisma \(h=10\) cm.
Calcule a área total.
Ver resposta (passo a passo)
Alternativa correta: B.
3) Base escalena (Heron) — volume
Um prisma triangular tem base escalena de lados \(8\), \(11\) e \(13\) cm e altura do prisma \(h=18\) cm.
Calcule o volume.
Ver resposta (passo a passo)
Alternativa correta: C.
Gabarito (alternativas)
1) B 2) B 3) C
8) Dicas rápidas
- Tríade fixa: \(A_L=p\,h\), \(A_T=A_L+2A_b\), \(V=A_b\,h\).
- Base retângula: \(A_b=\dfrac{b\,c}{2}\) e \(p=b+c+\sqrt{b^2+c^2}\).
- Equilátero: use as fórmulas do bloco “prisma triangular regular”.
- Escaleno: Heron é a opção mais prática para \(A_b\).
