Probabilidade Condicional — Fórmula, Interpretação e Exercícios

A Probabilidade Condicional aparece quando queremos calcular a chance de um evento acontecer sabendo que outro evento já ocorreu. Em vez de olhar para todo o espaço amostral, olhamos apenas para a parte onde a condição é verdadeira.

Este artigo apresenta a fórmula, o significado de cada termo, exemplos práticos e exercícios resolvidos, para você dominar o cálculo de \(P(A \mid B)\).

Probabilidade Condicional - Fórmula P(A|B)

Fórmula da Probabilidade Condicional

Seja \(A\) e \(B\) dois eventos, com \(P(B) > 0\). A probabilidade de ocorrer \(A\) sabendo que \(B\) já aconteceu é dada por:

\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Em termos de contagem, se trabalhamos com números de resultados em vez de probabilidades:

\[ P(A \mid B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} \]

\(P(A \mid B)\): probabilidade de ocorrer A sabendo que B ocorreu;
\(P(A \cap B)\): probabilidade de A e B acontecerem juntos;
\(n(A \cap B)\): número de resultados em que A e B acontecem juntos;
\(n(B)\): número total de resultados possíveis dentro de B.

Como interpretar a fórmula?

A ideia é: primeiro restringimos nossa atenção apenas aos casos em que \(B\) aconteceu. Dentro desse “novo universo”, contamos quantos casos também satisfazem \(A\).

Assim, a probabilidade condicional é uma forma de “atualizar” a probabilidade de \(A\), levando em conta a informação de que \(B\) ocorreu.

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Exemplos práticos

Exemplo 1: Em uma turma, 60% dos alunos são aprovados em Matemática. Entre os aprovados em Matemática, 40% também são aprovados em Física. Qual a probabilidade de um aluno ser aprovado em Física, sabendo que ele foi aprovado em Matemática?

Aqui, consideramos:

\(B\): “ser aprovado em Matemática”;
\(A\): “ser aprovado em Física”.

A informação “40% dos aprovados em Matemática também são aprovados em Física” já é diretamente \(P(A \mid B) = 0{,}4\).

Resposta: a probabilidade é 0,4 (40%).

Exemplo 2: Em um grupo de 100 pessoas, 30 falam inglês, 20 falam espanhol e 12 falam as duas línguas. Qual a probabilidade de uma pessoa falar espanhol, sabendo que ela já fala inglês?

Usando contagem:

\(n(B) = 30\): pessoas que falam inglês;
\(n(A \cap B) = 12\): pessoas que falam inglês e espanhol.

\[ P(\text{espanhol} \mid \text{inglês}) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \]

Resposta: 40% das pessoas que falam inglês também falam espanhol.

Relação com independência

Dois eventos \(A\) e \(B\) são independentes quando saber que um aconteceu não altera a probabilidade do outro. Em termos de probabilidade condicional:

\[ A \text{ e } B \text{ são independentes} \quad \Longleftrightarrow \quad P(A \mid B) = P(A) \]

Nesse caso, também vale que:

\[ P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \]

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Em um concurso, 30% dos candidatos passaram na prova objetiva. Entre esses aprovados, 50% também foram aprovados na prova discursiva. Qual a probabilidade de um candidato ser aprovado na prova discursiva, sabendo que ele já foi aprovado na prova objetiva?

Ver solução

A informação “entre os aprovados na objetiva, 50% passam na discursiva” já é a probabilidade condicional:

\[ P(\text{discursiva} \mid \text{objetiva}) = 0{,}5 \]

Resposta: 50%.

Exercício 2

Em um grupo de 80 estudantes, 32 gostam de Matemática, 20 gostam de Física e 12 gostam das duas. Qual a probabilidade de um estudante gostar de Física, sabendo que ele gosta de Matemática?

Ver solução

Tomando:

\(B\): “gostar de Matemática” → \(n(B) = 32\);
\(A\): “gostar de Física”;
\(n(A \cap B) = 12\).

\[ P(\text{Física} \mid \text{Matemática}) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} = 0{,}375 \]

Resposta: 37,5%.

Exercício 3

Em uma fábrica, 4% das peças produzidas são defeituosas. Sabe-se que 1% de todas as peças são defeituosas e também são de um lote específico B. Se uma peça escolhida ao acaso é desse lote B, qual a probabilidade de ela ser defeituosa?

Ver solução

Seja \(A\): “a peça é defeituosa”; \(B\): “a peça pertence ao lote B”.

Suponha que a probabilidade de uma peça ser do lote B é \(P(B)\) (não informada diretamente). Sabemos:

\(P(A) = 0{,}04\) (4% defeituosas no total);
\(P(A \cap B) = 0{,}01\) (1% defeituosas e do lote B).

Pela definição:

\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Se o enunciado fornecer \(P(B)\) (por exemplo, 0,2 ou 20%), basta substituir. Supondo \(P(B) = 0{,}2\), teríamos:

\[ P(A \mid B) = \frac{0{,}01}{0{,}2} = 0{,}05 = 5\% \]

Ou seja, a peça do lote B teria 5% de chance de ser defeituosa.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.