A Probabilidade Condicional aparece quando queremos calcular a chance de um evento acontecer sabendo que outro evento já ocorreu. Em vez de olhar para todo o espaço amostral, olhamos apenas para a parte onde a condição é verdadeira.
Este artigo apresenta a fórmula, o significado de cada termo, exemplos práticos e exercícios resolvidos, para você dominar o cálculo de \(P(A \mid B)\).
Fórmula da Probabilidade Condicional
Seja \(A\) e \(B\) dois eventos, com \(P(B) > 0\). A probabilidade de ocorrer \(A\) sabendo que \(B\) já aconteceu é dada por:
Em termos de contagem, se trabalhamos com números de resultados em vez de probabilidades:
- \(P(A \mid B)\): probabilidade de ocorrer A sabendo que B ocorreu;
- \(P(A \cap B)\): probabilidade de A e B acontecerem juntos;
- \(n(A \cap B)\): número de resultados em que A e B acontecem juntos;
- \(n(B)\): número total de resultados possíveis dentro de B.
Como interpretar a fórmula?
A ideia é: primeiro restringimos nossa atenção apenas aos casos em que \(B\) aconteceu. Dentro desse “novo universo”, contamos quantos casos também satisfazem \(A\).
Assim, a probabilidade condicional é uma forma de “atualizar” a probabilidade de \(A\), levando em conta a informação de que \(B\) ocorreu.
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Mapas Mentais de Matemática eBook grátis – Fórmulas MatemáticasExemplos práticos
Exemplo 1: Em uma turma, 60% dos alunos são aprovados em Matemática. Entre os aprovados em Matemática, 40% também são aprovados em Física. Qual a probabilidade de um aluno ser aprovado em Física, sabendo que ele foi aprovado em Matemática?
Aqui, consideramos:
- \(B\): “ser aprovado em Matemática”;
- \(A\): “ser aprovado em Física”.
A informação “40% dos aprovados em Matemática também são aprovados em Física” já é diretamente \(P(A \mid B) = 0{,}4\).
Resposta: a probabilidade é 0,4 (40%).
Exemplo 2: Em um grupo de 100 pessoas, 30 falam inglês, 20 falam espanhol e 12 falam as duas línguas. Qual a probabilidade de uma pessoa falar espanhol, sabendo que ela já fala inglês?
Usando contagem:
- \(n(B) = 30\): pessoas que falam inglês;
- \(n(A \cap B) = 12\): pessoas que falam inglês e espanhol.
Resposta: 40% das pessoas que falam inglês também falam espanhol.
Relação com independência
Dois eventos \(A\) e \(B\) são independentes quando saber que um aconteceu não altera a probabilidade do outro. Em termos de probabilidade condicional:
Nesse caso, também vale que:
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Em um concurso, 30% dos candidatos passaram na prova objetiva. Entre esses aprovados, 50% também foram aprovados na prova discursiva. Qual a probabilidade de um candidato ser aprovado na prova discursiva, sabendo que ele já foi aprovado na prova objetiva?
Ver solução
A informação “entre os aprovados na objetiva, 50% passam na discursiva” já é a probabilidade condicional:
\[ P(\text{discursiva} \mid \text{objetiva}) = 0{,}5 \]Resposta: 50%.
Exercício 2
Em um grupo de 80 estudantes, 32 gostam de Matemática, 20 gostam de Física e 12 gostam das duas. Qual a probabilidade de um estudante gostar de Física, sabendo que ele gosta de Matemática?
Ver solução
Tomando:
- \(B\): “gostar de Matemática” → \(n(B) = 32\);
- \(A\): “gostar de Física”;
- \(n(A \cap B) = 12\).
Resposta: 37,5%.
Exercício 3
Em uma fábrica, 4% das peças produzidas são defeituosas. Sabe-se que 1% de todas as peças são defeituosas e também são de um lote específico B. Se uma peça escolhida ao acaso é desse lote B, qual a probabilidade de ela ser defeituosa?
Ver solução
Seja \(A\): “a peça é defeituosa”; \(B\): “a peça pertence ao lote B”.
Suponha que a probabilidade de uma peça ser do lote B é \(P(B)\) (não informada diretamente). Sabemos:
- \(P(A) = 0{,}04\) (4% defeituosas no total);
- \(P(A \cap B) = 0{,}01\) (1% defeituosas e do lote B).
Pela definição:
\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]Se o enunciado fornecer \(P(B)\) (por exemplo, 0,2 ou 20%), basta substituir. Supondo \(P(B) = 0{,}2\), teríamos:
\[ P(A \mid B) = \frac{0{,}01}{0{,}2} = 0{,}05 = 5\% \]Ou seja, a peça do lote B teria 5% de chance de ser defeituosa.
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