Produto Escalar: Entenda de Forma Completa
O produto escalar é uma operação entre dois vetores cujo resultado é um número real. Ele relaciona o módulo dos vetores com o ângulo entre eles.
📌 Definição
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta$$
Esse resultado indica o quanto um vetor “projeta” sobre o outro.
📌 Interpretação Geométrica
- Vetores na mesma direção → resultado positivo
- Vetores perpendiculares → resultado zero
- Vetores em sentidos opostos → resultado negativo
📌 Cálculo por Coordenadas
$$\vec{a} = (a_x, a_y) \quad \vec{b} = (b_x, b_y)$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$$
📌 Casos importantes
$$\theta = 0^\circ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$$
$$\theta = 90^\circ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$
$$\theta = 180^\circ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$$
📚 Exercícios Resolvidos
1. Calcule o produto escalar de (2,3) e (4,1).
Ver solução
$$2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 8 + 3 = 11$$
2. Calcule o produto escalar de (1,2) e (3,4).
Ver solução
$$1\cdot3 + 2\cdot4 = 3 + 8 = 11$$
3. Vetores perpendiculares têm qual produto escalar?
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$$\cos 90^\circ = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$
4. Calcule: |a|=3, |b|=4, θ=60°
Ver solução
$$3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6$$
5. Determine o produto escalar para θ=180°
Ver solução
$$\cos 180^\circ = -1$$
6. Calcule (5,2)·(1,3)
Ver solução
$$5\cdot1 + 2\cdot3 = 5 + 6 = 11$$
7. Quando o resultado é positivo?
Ver solução
Quando o ângulo é menor que 90°
8. Quando é negativo?
Ver solução
Quando o ângulo é maior que 90°
9. Calcule (0,5)·(2,0)
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$$0$$
10. Interprete o produto escalar.
Ver solução
Mede a projeção de um vetor sobre outro
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