PROFMAT 2018 – Questão 26 | Geometria Espacial – Perímetro em Cubo
O cubo da figura abaixo tem aresta de medida 3. Se \(AI = CJ = FK = 1\), qual é o perímetro do triângulo \(IJK\)?
(A) \(2\sqrt{10} + 3\sqrt{2}\)
(B) \(3\sqrt{10}\)
(C) \(9\sqrt{2}\)
(D) \(2\sqrt{13} + 3\sqrt{2}\)
(E) \(2\sqrt{10} – 3\sqrt{2}\)
Solução passo a passo:
Observando o cubo de aresta \(3\), os triângulos \(LIK\) e \(LIJ\) formados são retângulos.
Calculando as distâncias:
\[ IK^2 = 3^2 + 1^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad IK = \sqrt{10} \]
\[ IJ^2 = 3^2 + 3^2 = 18 \quad \Rightarrow \quad IJ = 3\sqrt{2} \]
O triângulo \(IJK\) é isósceles em \(I\), com lados:
- \(IK = \sqrt{10}\)
- \(JK = \sqrt{10}\)
- \(IJ = 3\sqrt{2}\)
Logo, o perímetro do triângulo é:
\[ P = 2\sqrt{10} + 3\sqrt{2} \]
Resposta: (A) \(2\sqrt{10} + 3\sqrt{2}\)
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