PROFMAT 2021 – Questão 14 | Geometria Espacial – Cone e Esfera
Uma esfera de raio \(R\) está inscrita em um cone circular reto de altura \(h\) e raio da base \(r\). Sabendo-se que \( \frac{h}{R} = 4 \), o valor de \( \frac{r}{R} \) é:
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Resposta correta: (E)
Na figura:
- \(B\) é o centro da esfera;
- \(C\) é o centro da base do cone;
- \(AE\) é uma geratriz e \(D\) é o ponto de tangência.
Pela semelhança dos triângulos \(ACE\) e \(ABD\), temos:
\[ \frac{r}{R} = \frac{\sqrt{h^2 + r^2}}{h – R} \]
Sabemos que \(h = 4R\). Substituindo:
\[ \frac{r}{R} = \frac{\sqrt{(4R)^2 + r^2}}{3R} = \frac{\sqrt{16R^2 + r^2}}{3R} \]
Elevando ao quadrado:
\[ 9r^2 = 16R^2 + r^2 \implies 8r^2 = 16R^2 \implies r^2 = 2 R^2 \]
Portanto:
\[ \frac{r}{R} = \sqrt{2} \]
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