PROFMAT 2021 – Questão 8 | Equações e Potências
Sendo \(n\) um número inteiro positivo, podemos dizer que o número de soluções reais distintas da equação:
\[ x^{2n} – x^n – 2 = 0 \]
é:
Ver solução passo a passo
Resposta correta: (B)
Fazemos a substituição \(x^n = y\), obtendo a equação de 2º grau:
\[ y^2 – y – 2 = 0 \]
Suas raízes são: \(y = -1\) e \(y = 2\).
Agora, analisamos as equações:
- \(x^n = -1\)
- \(x^n = 2\)
Caso 1: \(n\) ímpar
- \(x^n = -1\) tem 1 solução real: \(x = -1\)
- \(x^n = 2\) tem 1 solução real: \(x = \sqrt[n]{2}\)
Caso 2: \(n\) par
- \(x^n = -1\) não possui solução real
- \(x^n = 2\) possui 2 soluções reais: \(x = \sqrt[n]{2}\) e \(x = -\sqrt[n]{2}\)
Portanto, em ambos os casos, a equação possui exatamente 2 soluções reais distintas.
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