Sobre os catetos de um triângulo retângulo cujo maior ângulo agudo mede \( \alpha \) são construídos hexágonos regulares e sobre a hipotenusa um triângulo equilátero, conforme indicado na figura. Se \( \tan \alpha = 2 \) e a área do hexágono menor mede 1, então as áreas do triângulo equilátero e do hexágono maior medem, respectivamente:
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Resposta correta: (A)
Como os hexágonos são regulares e semelhantes, a razão de semelhança entre seus lados é igual à razão entre os catetos do triângulo retângulo. Como \( \tan \alpha = 2 \), a razão de semelhança é 2, logo a razão entre as áreas é:
\[ 2^2 = 4 \]
Portanto, se a área do hexágono menor é 1, a do hexágono maior será 4.
Agora, para o hexágono construído sobre a hipotenusa, sua área será a soma das áreas dos hexágonos sobre os catetos: \[ 1 + 4 = 5 \]
Esse hexágono é formado por 6 triângulos equiláteros iguais, então a área de cada triângulo equilátero é:
\[ \frac{5}{6} \]
Logo, as áreas pedidas são:
\[ \frac{5}{6} \text{ e } 4 \]
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