Na figura abaixo, \(ABCD\) é um quadrado de lado \(2\), \(BE = CE = 4\) e \(DF = CF = 3\). A medida do segmento \(EF\) é:
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Resposta correta: (E)
Sejam \(G\) o centro do quadrado, \(H\) o ponto médio de \(BC\) e \(I\) o ponto médio de \(CD\).
1. **Cálculo da altura em \( \triangle BEC \)** O triângulo \(BEC\) é isósceles com \(BE = CE = 4\) e base \(BC = 2\). Pela altura \(EH\): \[ EH = \sqrt{4^2 – 1^2} = \sqrt{15} \] Logo, \(FI = \sqrt{8}\) de forma análoga.
2. **Cálculo das distâncias para o teorema de Pitágoras em \( \triangle EGF \)** Como \(GI = GH = 1\), temos: \[ GE = 1 + \sqrt{15}, \quad GF = 1 + \sqrt{8} \]
3. **Cálculo de \(EF\)** Pelo Teorema de Pitágoras na diagonal \(EF\): \[ EF^2 = (1 + \sqrt{8})^2 + (1 + \sqrt{15})^2 \] \[ EF^2 = 1 + 2\sqrt{8} + 8 + 1 + 2\sqrt{15} + 15 \] \[ EF^2 = 25 + 2\sqrt{8} + 2\sqrt{15} \] \[ EF = \sqrt{25 + 2\sqrt{8} + 2\sqrt{15}} \]
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