PROFMAT 2023 – Questão 13 | Equação Quadrática e Condição de Raízes
O conjunto dos valores de \( \alpha \in \mathbb{R} \) para os quais a equação \[ (\alpha – 2)x^2 + (\alpha – 5)x + 1 = 0 \] tem solução única é:
(A) {2, 3, 11}
(B) {5, 12, 13}
(C) {2, 6, 13}
(D) {1, 7, 14}
(E) {2, 8, 15}
(B) {5, 12, 13}
(C) {2, 6, 13}
(D) {1, 7, 14}
(E) {2, 8, 15}
Resposta correta: (A) {2, 3, 11}.
Para a equação ter solução única, analisamos dois casos:
1️⃣ Se \( \alpha = 2 \): \[ -3x + 1 = 0 \] que é uma equação de 1º grau, logo tem **solução única**.
2️⃣ Se \( \alpha \neq 2 \), a equação será do 2º grau e terá solução única **quando o discriminante for zero**: \[ \Delta = (\alpha – 5)^2 – 4(\alpha-2)\cdot 1 = 0 \] \[ \Delta = \alpha^2 -14\alpha + 33 = 0 \] \[ \alpha = 3 \quad \text{ou} \quad \alpha = 11 \]
Portanto, o conjunto solução é: \[ \boxed{ \{ 2, 3, 11 \} } \]
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