Se as equações do segundo grau \[ x^2 – (m+n)x + n-3 = 0 \] e \[ 6x^2 – 2nx + 3m + 2n = 0 \] têm as mesmas raízes, então \( m^2+n^2 \) é:
(B) um quadrado perfeito.
(C) um número primo.
(D) um cubo perfeito.
(E) um múltiplo de 4.
Resposta correta: (C) um número primo
Para que duas equações de 2º grau tenham as mesmas raízes, seus coeficientes correspondentes devem ser proporcionais. Assim, temos o sistema: \[ \begin{cases} -2n = -6(m+n) \\ 3m + 2n = 6(n-3) \end{cases} \]
Simplificando: \[ 3m = -2n \quad \text{e} \quad 3m + 2n = 6n – 18 \]
Resolvendo o sistema, encontramos: \[ m = -2 \quad \text{e} \quad n = 3 \]
Logo: \[ m^2 + n^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \] que é um número primo.
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