Progressão Aritmética (PA)

Progressão Aritmética (PA) — Definição, Termo Geral, Soma e Problemas Resolvidos

Progressão Aritmética (PA) — Guia Completo

Definição, características, termo geral, soma dos n primeiros termos, classificação e problemas resolvidos. Cada tópico traz 2 exercícios resolvidos (abre/fecha apenas na solução) e há um bloco final com 10 questões de múltipla escolha.

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Definição e Características

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando uma constante razão (r) ao termo anterior. Essa constante pode ser positiva, negativa ou zero.

\[ a_n = a_{n-1} + r \quad \text{(para } n \ge 2\text{)} \qquad \text{e} \qquad r = a_n – a_{n-1}. \]

Primeiro termo: $a_1$
Razão: $r$ (diferença constante)
Tipos: crescente ($r>0$), decrescente ($r<0$) e constante ($r=0$).

Exemplo: $3, 7, 11, 15, 19, \dots$ — $a_1=3$, $r=4$ ⇒ PA crescente.

Exercícios do tópico

Ex. 1 — Identifique a razão e o tipo. Sequência: $12, 9, 6, 3, \dots$. Encontre $r$ e classifique a PA.

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\[ r = 9-12 = -3 \Rightarrow \text{PA decrescente.} \]

Ex. 2 — Verifique se é PA. Sequência: $2, 6, 10, 14, \dots$. As diferenças são constantes?

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\[ 6-2=4,\; 10-6=4,\; 14-10=4 \Rightarrow \text{Sim, PA com } r=4. \]

Termo Geral da PA

Para encontrar um termo qualquer $a_n$, utilize a fórmula do termo geral:

\[ \boxed{a_n = a_1 + (n – 1)\,r} \]

Exemplo: Na PA $2, 5, 8, 11, \dots$, encontre $a_{12}$.
$a_1=2,\; r=3,\; n=12 \Rightarrow a_{12} = 2 + 11\cdot 3 = 35.$

Exercícios do tópico

Ex. 1 — Calcule $a_{20}$. Em uma PA com $a_1=7$ e $r=5$, determine $a_{20}$.

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\[ a_{20}=7+(20-1)\cdot5=7+95=102. \]

Ex. 2 — Descubra $a_1$. Em uma PA, $a_8=50$ e $r=4$. Determine $a_1$.

Ver solução

\[ a_8=a_1+7r \Rightarrow 50=a_1+28 \Rightarrow a_1=22. \]

Soma dos n Primeiros Termos da PA

Há duas formas usuais de calcular a soma $S_n$:

\[ \boxed{S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}} \qquad\text{ou}\qquad \boxed{S_n = \frac{n}{2}\,\big[\,2a_1 + (n-1)r\,\big]} \]

Exemplo: Some os 20 primeiros termos da PA $10, 15, 20, \dots$.
$a_{20}=105$ ⇒ $S_{20}=\dfrac{20(10+105)}{2}=1150.$

Exercícios do tópico

Ex. 1 — Calcule $S_{12}$. Em uma PA com $a_1=4$ e $r=3$, encontre $S_{12}$.

Ver solução

\[ a_{12}=4+11\cdot3=37;\quad S_{12}=\frac{12(4+37)}{2}=\frac{12\cdot41}{2}=6\cdot41=246. \]

Ex. 2 — Use a fórmula sem $a_n$. Em uma PA com $a_1=5$, $r=2$, $n=15$, calcule $S_{15}$.

Ver solução

\[ S_{15}=\frac{15}{2}\,[2\cdot5+(15-1)\cdot2] =\frac{15}{2}\,(10+28)=\frac{15}{2}\cdot38=15\cdot19=285. \]

Classificação da PA

Tipo	Condição	Exemplo
Crescente	$r > 0$	$2, 5, 8, 11, \dots$
Decrescente	$r < 0$	$100, 80, 60, 40, \dots$
Constante	$r = 0$	$7, 7, 7, 7, \dots$

Dica: observe apenas o sinal de $r$ para inferir o comportamento.

Exercícios do tópico

Ex. 1 — Classifique e encontre $r$. Sequência: $ -4,\ -1,\ 2,\ 5,\dots $

Ver solução

\[ r=-1-(-4)=3 \Rightarrow r>0 \Rightarrow \text{PA crescente.} \]

Ex. 2 — Constante? Sequência: $ 9,\ 9,\ 9,\ 9,\dots $

Ver solução

\[ r=9-9=0 \Rightarrow \text{PA constante.} \]

Problemas Envolvendo PA

Problema 1 — Reajuste anual (estilo ENEM). Um funcionário inicia com salário de R$ 2.000,00 e recebe aumento fixo de R$ 300,00 ao ano. Qual será o salário no 8º ano?

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\[ a_8 = 2000 + 7\cdot 300 = 4100. \]

Resposta: R$ 4.100,00.

Problema 2 — Soma de parcelas em PA. Uma TV é vendida em 12 parcelas formando PA: a primeira é R$ 50,00 e a última R$ 160,00. Qual o total pago?

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\[ S_{12}=\frac{12\,(50+160)}{2}=1260. \]

Resposta: R$ 1.260,00.

Exercícios do tópico

Ex. 1 — Produção mensal. Uma fábrica produz 500 peças no 1º mês e aumenta 40 peças por mês. Quantas no 9º mês?

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\[ a_9=500+(9-1)\cdot40=500+320=820\ \text{peças.} \]

Ex. 2 — Economia pessoal. João guarda R$ 120 no 1º mês e acrescenta R$ 15 a cada mês. Quanto terá guardado após 12 meses?

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\[ a_{12}=120+(11)15=285;\quad S_{12}=\frac{12(120+285)}{2}=2430. \]

Total: R$ 2.430,00.

Resumo das Fórmulas

Fórmula	Descrição
$a_n = a_1 + (n-1)r$	Termo geral
$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$	Soma usando o último termo
$S_n = \dfrac{n}{2}\,[\,2a_1 + (n-1)r\,]$	Soma substituindo $a_n$ pelo termo geral
$r = a_n – a_{n-1}$	Razão

Conclusão e Próximos Passos

A Progressão Aritmética (PA) modela variações constantes e aparece em contextos financeiros, planejamentos, análise de dados e provas. Dominar o termo geral e as fórmulas de soma permite resolver rapidamente questões típicas de concursos e vestibulares.

Sugestão: complemente seus estudos com Porcentagem, Expressões Numéricas e Frações.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.