Produto dos n Primeiros Termos da P.G. (Pn) — Progressão Geométrica
Seja uma P.G. (também chamada de sequência geométrica) \((a_n)\) com \(a_1\) e razão \(q\). O produto dos \(n\) primeiros termos — isto é, o produto parcial geométrico — denotado por \(P_n\), é:
Fórmula de Pn (produto parcial da PG)
$$P_n = a_1^{\,n}\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}\qquad (n\ge1)$$
Dedução rápida (sequência geométrica)
Escreva os \(n\) primeiros termos: \(a_1,\ a_1q,\ a_1q^2,\ \dots,\ a_1q^{n-1}\).
Multiplicando (produto cumulativo):
\(P_n = a_1\cdot a_1q\cdot a_1q^2\cdots a_1q^{n-1}\)
\(= (a_1)^n \cdot q^{\,0+1+2+\cdots+(n-1)}\)
\(= a_1^{\,n}\cdot q^{\,\frac{(n-1)n}{2}}\).
Usamos a soma dos naturais consecutivos: \(0+1+\cdots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}\).
Exemplos resolvidos (PG)
Exemplo 1 — Produto dos 5 primeiros termos
Para \(a_1=3\) e \(q=2\), calcule \(P_5\).
\(P_5 = a_1^{5}\cdot q^{\frac{5\cdot4}{2}}\)
\(= 3^{5}\cdot 2^{10}\)
\(= 243 \cdot 1024\)
\(= 248{,}832\).
Exemplo 2 — Descobrindo n a partir de Pn
Uma P.G. tem \(a_1=2\) e \(q=3\). Sabendo que \(P_n=2^{n}\cdot3^{\frac{n(n-1)}{2}}=2\cdot3^{6}\), determine \(n\).
Compare potências:
\(2^{n}=2^{1}\Rightarrow n=1\). Verificando o expoente de 3: \(\frac{n(n-1)}{2}=6\Rightarrow n(n-1)=12\Rightarrow n=4\) (válido).
O par que atende ambos é \(n=4\); logo a igualdade escrita como produto único corresponde a \(n=4\).
Resposta: \(n=4\).
Exercícios (múltipla escolha) — produto parcial
1) Cálculo direto
Para \(a_1=5\) e \(q=3\), o valor de \(P_4\) é:
- A) \(5^{4}\cdot 3^{4}\)
- B) \(5^{4}\cdot 3^{6}\)
- C) \(5^{4}\cdot 3^{3}\)
- D) \(5^{3}\cdot 3^{6}\)
\(P_4=5^{4}\cdot 3^{\frac{4\cdot3}{2}}=5^{4}\cdot3^{6}\).
Resposta: B ✅
2) Produto numérico
Na P.G. \(a_1=2\) e \(q=2\), \(P_6\) vale:
- A) \(2^{6}\cdot 2^{15}\)
- B) \(2^{6}\cdot 2^{10}\)
- C) \(2^{6}\cdot 2^{6}\)
- D) \(2^{5}\cdot 2^{10}\)
\(P_6=2^{6}\cdot 2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{6}\cdot2^{15}=2^{21}\).
Resposta: A ✅
3) Encontrando a razão
Uma P.G. possui \(a_1=3\) e \(P_4=3^{4}\cdot 27\). A razão \(q\) é:
- A) \(q=2\)
- B) \(q=3\)
- C) \(q=\sqrt{3}\)
- D) \(q=\dfrac{27}{9}\)
Pela fórmula: \(P_4=3^{4}\cdot q^{\frac{4\cdot3}{2}}=3^{4}\cdot q^{6}\).
Dado \(P_4=3^{4}\cdot 27=3^{4}\cdot 3^{3}=3^{7}\Rightarrow q^{6}=3^{3}\Rightarrow q=3^{1/2}=\sqrt{3}\).
Resposta: C ✅
4) Misturando com termo geral
Numa P.G. \(a_1=4\), \(q= \dfrac{1}{2}\). O produto \(P_5\) é:
- A) \(4^{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}\)
- B) \(4^{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}\)
- C) \(4^{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\! \frac{5\cdot4}{2}}\)
- D) \(4^{4}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\! 10}\)
\(P_5=4^{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}\) porque \(\frac{5\cdot4}{2}=10\).
Resposta: A ✅
5) Comparando produtos consecutivos
Para qualquer P.G. com \(a_1\neq0\) e \(q\neq0\), a razão \(\dfrac{P_{n+1}}{P_n}\) é:
- A) \(a_{n+1}\)
- B) \(q^{n}\)
- C) \(a_1\cdot q^{n}\)
- D) \(a_n\)
\(P_{n+1}=\prod_{k=1}^{n+1} a_k = \left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right)\cdot a_{n+1}=P_n\cdot a_{n+1}\Rightarrow \dfrac{P_{n+1}}{P_n}=a_{n+1}\).
Resposta: A ✅
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