Proporção: Meios, Extremos e Produto Cruzado
Aprenda a identificar meios e extremos e a aplicar o produto cruzado com exemplos passo a passo e exercícios resolvidos.
Uma proporção é a igualdade entre duas razões. Em \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \), chamamos a e d de extremos, e b e c de meios. A ferramenta principal para trabalhar com proporções é o produto cruzado.
Para se aprofundar, veja também: Razão e Proporção, Razão e Proporção.
Meios, Extremos e Produto Cruzado
Interpretação: em qualquer proporção verdadeira, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Essa igualdade permite verificar proporções e calcular incógnitas.
Exemplos Resolvidos
- Extremos: \(6\) e \(12\). Meios: \(8\) e \(9\).
- Produto dos extremos: \(6 \cdot 12 = 72\).
- Produto dos meios: \(8 \cdot 9 = 72\).
- Produto cruzado: \(12x = 15 \cdot 8\).
- Calcule: \(12x = 120\).
- Isolando \(x\): \(x = \dfrac{120}{12} = 10\).
- Proporção: \(\dfrac{1\text{ cm}}{200\,000\text{ cm}}=\dfrac{4\text{ cm}}{x}\).
- Produto cruzado: \(1\cdot x = 200\,000 \cdot 4 \Rightarrow x = 800\,000\text{ cm}\).
- Converta: \(800\,000\text{ cm} = 8\,000\text{ m} = 8\text{ km}\).
Erros Comuns (e como evitar)
- Esquecer de cruzar corretamente: multiplique extremo × extremo e meio × meio.
- Unidades incompatíveis: converta para a mesma unidade antes de montar a proporção.
- Dividir cedo demais: prefira cruzar, isolar a incógnita e só então simplificar.
Exercícios — Meios, Extremos e Produto Cruzado
Questão 1
Encontre \(x\) em \( \dfrac{x}{12} = \dfrac{5}{18} \).
- A) \( \dfrac{5}{3} \)
- B) \( \dfrac{10}{3} \)
- C) \( 3 \)
- D) \( 4 \)
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- Produto cruzado: \(18x = 12 \cdot 5 = 60\).
- \(x = \dfrac{60}{18} = \dfrac{10}{3}\).
Questão 2
Em \( \dfrac{7}{21} = \dfrac{2}{x} \), o valor de \(x\) é:
- A) 4
- B) 6
- C) 7
- D) 9
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- Produto cruzado: \(7x = 21 \cdot 2 = 42\).
- \(x = 6\).
Questão 3
Calcule \(x\) em \( \dfrac{15}{x} = \dfrac{9}{12} \).
- A) 12
- B) 18
- C) 20
- D) 24
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- Produto cruzado: \(9x = 15 \cdot 12 = 180\).
- \(x = \dfrac{180}{9} = 20\).
Questão 4
Verifique se \( \dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{27} \).
- A) Sim
- B) Não
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Extremos: \(4\) e \(27\) ⇒ \(4 \cdot 27 = 108\). Meios: \(9\) e \(12\) ⇒ \(9 \cdot 12 = 108\). Iguais ⇒ proporção verdadeira.
Questão 5
Resolva \( \dfrac{3}{x+1} = \dfrac{6}{14} \).
- A) \(x=4\)
- B) \(x=6\)
- C) \(x=7\)
- D) \(x=9\)
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- Produto cruzado: \(14 \cdot 3 = 6(x+1)\) ⇒ \(42 = 6x + 6\).
- \(6x = 36\) ⇒ \(x = 6\).
Questão 6
Uma equipe de 5 trabalhadores constrói 20 m de muro. No mesmo ritmo, 8 trabalhadores constroem:
- A) 28 m
- B) 30 m
- C) 32 m
- D) 36 m
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- Proporção direta: \(\dfrac{5}{20} = \dfrac{8}{x}\).
- Produto cruzado: \(5x = 20 \cdot 8 = 160\).
- \(x = 32\).
Questão 7
Se \( \dfrac{A}{B} = \dfrac{4}{5} \) e \(B = 30\), então \(A\) vale:
- A) 20
- B) 22
- C) 24
- D) 26
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- \(\dfrac{A}{30} = \dfrac{4}{5}\) ⇒ \(5A = 4 \cdot 30\).
- \(5A = 120\) ⇒ \(A = 24\).
Questão 8
Em um mapa na escala \(1:200\,000\), qual a distância real para \(4\) cm?
- A) 6 km
- B) 8 km
- C) 10 km
- D) 12 km
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- \(\dfrac{1}{200\,000} = \dfrac{4}{x}\) ⇒ \(x = 800\,000\text{ cm}\).
- \(800\,000\text{ cm} = 8\,000\text{ m} = 8\text{ km}\).
Conclusão
Identificar meios e extremos e aplicar o produto cruzado torna a resolução de proporções direta e confiável. Continue estudando com os materiais abaixo:
