Propriedades dos Logaritmos

As propriedades dos logaritmos são ferramentas fundamentais para simplificar cálculos e resolver equações logarítmicas e exponenciais. Elas estão presentes em provas como o ENEM, vestibulares e concursos públicos.

1. Propriedade do Produto

\[ \log_{a}(x \cdot y) = \log_{a}x + \log_{a}y \] Válida para \(x>0\) e \(y>0\).

Exemplo: \(\log_{2}(8 \cdot 4) = \log_{2} 8 + \log_{2} 4 = 3 + 2 = 5\).

2. Propriedade do Quociente

\[ \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{a}x – \log_{a}y \] Válida para \(x>0\) e \(y>0\).

Exemplo: \(\log_{3}\left(\frac{81}{9}\right) = \log_{3}81 – \log_{3}9 = 4 – 2 = 2\).

3. Propriedade da Potência

\[ \log_{a}(x^k) = k \cdot \log_{a}x \] Válida para \(x>0\) e \(k \in \mathbb{R}\).

Exemplo: \(\log_{5}(25^3) = 3 \cdot \log_{5} 25 = 3 \cdot 2 = 6\).

4. Mudança de Base

\[ \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} \] Com \(a, b, c >0\) e \(a \neq 1, c \neq 1\).

Exemplo: \(\log_{2} 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2}\), útil em calculadoras que só possuem base 10.

Exercícios Propostos

Simplifique: \(\log_{2} 16 + \log_{2} 8\).
Calcule: \(\log_{5} \frac{125}{25}\).
Resolva: \(\log_{3}(x^2) = 4\).
Use mudança de base para calcular \(\log_{4} 10\) em função de logaritmos na base 10.

Gabarito

1) 7. 2) 1. 3) \(x=\pm 9\). 4) \(\log_{4} 10 = \frac{\log 10}{\log 4}\).

📥 Material complementar

Para revisar todas as fórmulas de forma organizada, baixe o eBook de Fórmulas Matemáticas.

Baixar agora

Conclusão

As propriedades dos logaritmos tornam cálculos complexos muito mais simples, permitindo transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações e expoentes em coeficientes. Dominar essas regras é essencial para avançar em funções, equações exponenciais e logarítmicas.