Propriedades dos Logaritmos
As propriedades dos logaritmos são ferramentas fundamentais para simplificar cálculos e resolver equações logarítmicas e exponenciais. Elas estão presentes em provas como o ENEM, vestibulares e concursos públicos.
1. Propriedade do Produto
Exemplo: \(\log_{2}(8 \cdot 4) = \log_{2} 8 + \log_{2} 4 = 3 + 2 = 5\).
2. Propriedade do Quociente
Exemplo: \(\log_{3}\left(\frac{81}{9}\right) = \log_{3}81 – \log_{3}9 = 4 – 2 = 2\).
3. Propriedade da Potência
Exemplo: \(\log_{5}(25^3) = 3 \cdot \log_{5} 25 = 3 \cdot 2 = 6\).
4. Mudança de Base
Exemplo: \(\log_{2} 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2}\), útil em calculadoras que só possuem base 10.
Exercícios Propostos
- Simplifique: \(\log_{2} 16 + \log_{2} 8\).
- Calcule: \(\log_{5} \frac{125}{25}\).
- Resolva: \(\log_{3}(x^2) = 4\).
- Use mudança de base para calcular \(\log_{4} 10\) em função de logaritmos na base 10.
Gabarito
1) 7. 2) 1. 3) \(x=\pm 9\). 4) \(\log_{4} 10 = \frac{\log 10}{\log 4}\).
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As propriedades dos logaritmos tornam cálculos complexos muito mais simples, permitindo transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações e expoentes em coeficientes. Dominar essas regras é essencial para avançar em funções, equações exponenciais e logarítmicas.
