Questão 9
Quatro amigos dividiram uma conta de bar de R$ 120,00.
O primeiro pagou metade da quantia paga pelos outros três juntos;
o segundo pagou um terço da quantia paga pelos outros três juntos;
o terceiro pagou um quarto da quantia paga pelos outros três juntos.
Quanto pagou o quarto amigo?
- (A) R$ 40,00
- (B) R$ 30,00
- (C) R$ 20,00
- (D) R$ 26,00
- (E) R$ 24,00
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Entendendo o Enunciado
Sejam os valores pagos pelos amigos \( A, B, C, D \), respectivamente.
- \( A = \frac{1}{2}(B + C + D) \Rightarrow 2A = B + C + D \tag{1} \)
- \( B = \frac{1}{3}(A + C + D) \Rightarrow 3B = A + C + D \tag{2} \)
- \( C = \frac{1}{4}(A + B + D) \Rightarrow 4C = A + B + D \tag{3} \)
- \( A + B + C + D = 120 \tag{4} \)
Substituindo e resolvendo o sistema
Passo 1: Da equação (1):
\[ 2A = B + C + D \Rightarrow A + B + C + D = A + 2A = 3A \Rightarrow 3A = 120 \Rightarrow A = 40 \]Passo 2: Usando A = 40 na equação (2):
\[ 3B = 40 + C + D \Rightarrow B = \frac{40 + C + D}{3} \]Passo 3: Substituir A e B na equação (3):
\[ 4C = 40 + B + D \Rightarrow C = \frac{40 + B + D}{4} \]Passo 4: Substituir as expressões de B e C na equação total:
\[ A + B + C + D = 120 \Rightarrow 40 + \frac{40 + C + D}{3} + \frac{40 + B + D}{4} + D = 120 \]Substituindo B e C com as expressões obtidas e resolvendo:Ao resolver o sistema (por substituição ou tentativa com alternativas), chegamos à combinação que satisfaz todas as equações:
- \( A = 40 \)
- \( B = 30 \)
- \( C = 24 \)
- \( D = \boxed{26} \)
Verificação:
- Soma: \( 40 + 30 + 24 + 26 = 120 \)
- Cond. A: \( A = \frac{1}{2}(30 + 24 + 26) = \frac{80}{2} = 40 \) ✅
- Cond. B: \( B = \frac{1}{3}(40 + 24 + 26) = \frac{90}{3} = 30 \) ✅
- Cond. C: \( C = \frac{1}{4}(40 + 30 + 26) = \frac{96}{4} = 24 \) ✅
Resposta Final
Alternativa correta: (D) R$ 26,00
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