Um helicóptero que transporta passageiros entre o continente e as plataformas de petróleo realiza apenas um voo pela manhã e um pela tarde, sendo capaz de transportar cinco passageiros, além dos pilotos. Esse tipo de aeronave é bastante confiável e segura, mas produz bastante barulho. A rotação das hélices de um helicóptero pode gerar ruídos sonoros com intensidade de 120 dB. A intensidade de ruídos sonoros, \( \beta \), em decibéis, é calculada por meio da fórmula \[ \beta = 10 \cdot \log_{10}(I/I_0), \] na qual \( I \) é a intensidade sonora e \( I_0 = 10^{-12} \, \text{W/m}^2 \) é uma intensidade de referência próxima ao limiar da audição humana.
A partir dessas informações e considerando que haja cinco homens e cinco mulheres aguardando o transporte do continente a uma plataforma de petróleo, julgue os próximos itens.
25. A quantidade de maneiras distintas de se escolherem aleatoriamente cinco passageiros a serem transportados no helicóptero de tal modo que três deles sejam mulheres é igual a 10.
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Entendendo o enunciado:
Temos 5 homens e 5 mulheres aguardando o voo.
Devemos escolher 5 passageiros, dos quais 3 devem ser mulheres.
Estratégia: Usar combinação para escolher:
- 3 mulheres entre 5
- 2 homens entre 5
Fórmula da combinação:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n – k)!} \]
Aplicando:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = 10,\quad C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = 10 \]
Total de maneiras:
\[ 10 \cdot 10 = 100 \]
Conclusão: A afirmativa está errada. O número correto de maneiras distintas é 100, e não 10.
🧠 Mapas Mentais de Matemática26. Se a probabilidade de um helicóptero sair atrasado no horário da manhã for de 20%, então a probabilidade de ele sair atrasado três dias seguidos no período matutino será superior a 1%.
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Entendendo o enunciado:
A probabilidade de o helicóptero sair atrasado em um dia pela manhã é de 20%, ou seja, \( P = 0{,}2 \).
A questão pergunta se a probabilidade de ele sair atrasado três dias seguidos será maior que 1%.
Cálculo da probabilidade de três eventos consecutivos:
Como os dias são independentes: \[ P(\text{3 atrasos}) = 0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}008 = 0{,}8\% \]
Conclusão: A probabilidade de 3 dias seguidos com atraso é de 0,8%, que é menor que 1%.
A afirmativa está errada.
🧠 Mapas Mentais de Matemática27. Caso as hélices de um helicóptero façam 475 rotações por minuto durante o voo, então, em um voo de 1 h e 15 min, essas hélices girarão 35.625 vezes.
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Entendendo o enunciado:
As hélices do helicóptero fazem 475 rotações por minuto (rpm).
O tempo de voo é de 1 hora e 15 minutos, ou seja:
\[ 1 \, \text{h} + 15 \, \text{min} = 60 + 15 = 75 \, \text{minutos} \]
Cálculo do total de rotações:
\[ \text{Total de rotações} = 475 \cdot 75 = 35.625 \]
Conclusão: A afirmativa está correta. As hélices girarão exatamente 35.625 vezes em 1h15min.
🧠 Mapas Mentais de Matemática28. Considerando que o limite seguro do nível sonoro para que não haja danos auditivos nos seres humanos seja de 70 dB, então a intensidade sonora gerada pelo barulho de um helicóptero é 10.000 vezes maior que o referido limite.
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Entendendo o enunciado:
A fórmula do nível sonoro em decibéis é:
\[
\beta = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)
\]
onde:
\( \beta \) é o nível em decibéis,
\( I \) é a intensidade sonora,
\( I_0 = 10^{-12} \, \text{W/m}^2 \) é a intensidade de referência (limiar da audição humana).
Comparando dois níveis sonoros:
Para o helicóptero: \( \beta_1 = 120 \, \text{dB} \)
Para o limite seguro: \( \beta_2 = 70 \, \text{dB} \)
Queremos saber a razão \( \frac{I_1}{I_2} \):
\[ \beta_1 – \beta_2 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right) \] \[ \Rightarrow 120 – 70 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right) \] \[ \Rightarrow 50 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right) \] \[ \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = 5 \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 10^5 = 100.000 \]
Conclusão: A afirmativa está errada.
A intensidade sonora do helicóptero é 100.000 vezes maior que o limite de 70 dB, e não 10.000 vezes, como afirma o item.
29. Caso o som produzido por um helicóptero tiver frequência de 40 Hz, então a onda sonora correspondente pode ser modelada pela função \[ S(t) = S_0sen(80 \cdot \pi \cdot t), \] em que \( S_0 \) é a amplitude da onda e \( t \) é o tempo em segundos.
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Entendendo o enunciado:
A questão afirma que a frequência do som produzido por um helicóptero é de 40 Hz. A função fornecida é: \[ S(t) = S_0 \cdot \sen(80 \cdot \pi \cdot t) \] onde \( S_0 \) é a amplitude e \( t \) é o tempo em segundos.
Lembrete: A equação padrão de uma onda senoidal é: \[ S(t) = S_0 \cdot \sen(2 \pi f t) \] onde \( f \) é a frequência da onda, em hertz (Hz).
Comparando com a equação dada:
A função fornecida tem argumento \( 80\pi t \), que equivale a: \[ 80\pi t = 2\pi \cdot 40 \cdot t \Rightarrow f = 40 \, \text{Hz} \]
Conclusão: A função está corretamente modelada para uma frequência de 40 Hz. O item está correto.
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