Questão 11: Algarismo das Unidades em \( A = 12^n \)
Enunciado: Sendo \( A = 12^n \), com \( 78 \leq n \leq 155 \), qual é o maior valor natural de \( n \) para que o algarismo das unidades de \( A \) seja 6?
🔍 Ver solução passo a passo
Passo 1: O algarismo das unidades de \( 12^n \) é o mesmo que o algarismo das unidades de \( 2^n \), pois o número termina em 2.
Vamos analisar os últimos dígitos de \( 2^n \):
- \( 2^1 = 2 \) → termina em 2
- \( 2^2 = 4 \) → termina em 4
- \( 2^3 = 8 \) → termina em 8
- \( 2^4 = 16 \) → termina em 6
- \( 2^5 = 32 \) → termina em 2
Os últimos dígitos de \( 2^n \) formam um ciclo de 4: 2, 4, 8, 6.
Passo 2: Procuramos o maior valor de \( n \) no intervalo \( [78, 155] \) tal que \( 2^n \) termine em 6.
Como o ciclo se repete a cada 4, a posição da unidade 6 ocorre quando:
$$ n \equiv 0 \pmod{4} $$
Passo 3: Dentro do intervalo, o maior valor de \( n \) tal que \( n \equiv 0 \pmod{4} \) é:
$$ n = 152 $$
Resposta final: \( \boxed{n = 152} \)
🧠 Mapas Mentais de Matemática
