Questão 15 – PROFMAT 2025

Solução Passo a Passo

1º Passo: Indique os lados como \(x-r, x, x+r\) (PA de três termos).

Para triângulo retângulo, temos:

\[ (x+r)^2 = (x-r)^2 + x^2 \]

Expandindo:

\[ x^2 + 2xr + r^2 = x^2 – 2xr + r^2 + x^2 \]

\[ x^2 + 2xr + r^2 = 2x^2 – 2xr + r^2 \]

\[ 4xr = x^2 \implies x = 4r \]

2º Passo: Logo, os lados são \(3r, 4r, 5r\).

3º Passo: Os cossenos dos ângulos agudos são:

\[ \cos \alpha = \frac{3r}{5r} = \frac{3}{5}, \quad \cos \beta = \frac{4r}{5r} = \frac{4}{5} \]

4º Passo: Soma dos cossenos:

\[ \cos \alpha + \cos \beta = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} \]

Resposta: Alternativa E.