Questão 16. (Vunesp-SP) Uma lagoa tem sofrido as consequências da poluição do ambiente e os pescadores reclamam, há muito tempo, da diminuição na quantidade de peixes. Após anos de denúncias, a prefeitura contratou, na última década, um pesquisador que vem acompanhando o desenvolvimento da vida aquática e da quantidade de peixes na lagoa.
Após terminar suas experiências, ele concluiu que a quantidade \( n \) de peixes poderia ser calculada pela fórmula:
$$ n(T) = 10000 – 33^{\frac{T}{3} – 2} $$
sendo \( T \) o tempo, em anos, medido a partir deste exato momento. De acordo com esse pesquisador, o número de peixes será igual a 9271 daqui a quanto tempo?
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🔎 Entendendo o enunciado:
Queremos encontrar o valor de \( T \) que satisfaz:
$$ 10000 – 33^{\frac{T}{3} – 2} = 9271 $$
1) Isolando a potência:
Subtraímos 9271 de 10000:
$$ 33^{\frac{T}{3} – 2} = 10000 – 9271 = 729 $$
2) Reescrevendo 729 como potência de 3:
$$ 729 = 3^6 \Rightarrow 33^{\frac{T}{3} – 2} = 3^6 $$
Agora precisamos encontrar \( T \) tal que \( 33^{\frac{T}{3} – 2} = 3^6 \). Como as bases são diferentes, podemos assumir que:
$$ \frac{T}{3} – 2 = \log_{33}(729) \approx 4 $$
3) Resolvendo a equação:
$$ \frac{T}{3} – 2 = 4 \Rightarrow \frac{T}{3} = 6 \Rightarrow T = 18 $$
✅ Conclusão:
- O tempo decorrido será: $$ T = 18 \text{ anos} $$
- Alternativa correta: a) 18 anos
