Questão 15. (UFPB) Uma determinada indústria constatou que o gás expelido na fabricação dos seus produtos continha o poluente alfa em quantidade acima do recomendado, que é de no máximo 4 mg/L.
Visando resolver esse problema, instalou filtros para purificação do gás. Estudos mostram que, com esses filtros, a quantidade \( q(t) \) do poluente alfa presente no gás, \( t \) horas após o processo de purificação ter sido iniciado, é dada por:
$$ q(t) = 2^5 \cdot 2^{-0{,}5t} = 2^{5 – 0{,}5t} \text{ mg/L} $$
Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas:
- A quantidade de poluente alfa presente no gás no instante em que o processo de purificação foi iniciado era de 32 mg/L.
- A quantidade de poluente alfa presente no gás, quatro horas após o início do processo de purificação, corresponde a um quarto da quantidade existente no instante em que o processo foi iniciado.
- A função utilizada para determinar a quantidade de poluentes no gás, \( q(t) \), é crescente.
- O tempo de purificação necessário para que a quantidade do poluente alfa presente no gás fique reduzida à metade da existente no instante em que o processo foi iniciado é de 2 horas.
- A quantidade de poluente alfa presente no gás estará conforme o recomendado a partir da 6ª hora após o instante em que o processo de purificação foi iniciado.
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🔎 Entendendo o enunciado:
A função é exponencial decrescente e descreve a quantidade de poluente ao longo do tempo com o uso de filtros.
1) Avaliando a afirmação I:
Para \( t = 0 \):
$$ q(0) = 2^{5 – 0} = 2^5 = 32 \Rightarrow \text{Verdadeira} $$
2) Avaliando a afirmação II:
Para \( t = 4 \):
$$ q(4) = 2^{5 – 0{,}5 \cdot 4} = 2^{3} = 8 $$
\( \frac{32}{4} = 8 \Rightarrow \text{Verdadeira} \)
3) Avaliando a afirmação III:
A função é do tipo \( 2^{-0{,}5t} \), ou seja, decrescente.
Falsa
4) Avaliando a afirmação IV:
Queremos saber quando a função vale metade de 32:
$$ q(t) = 16 = 2^{5 – 0{,}5t} $$ $$ \Rightarrow 5 – 0{,}5t = 4 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow \text{Verdadeira} $$
5) Avaliando a afirmação V:
Queremos saber quando \( q(t) \leq 4 \):
$$ 2^{5 – 0{,}5t} = 4 = 2^2 \Rightarrow 5 – 0{,}5t = 2 \Rightarrow t = 6 \Rightarrow \text{Verdadeira} $$
✅ Conclusão:
- Alternativas verdadeiras: I, II, IV e V
