Questão 17 – PROFMAT 2025
Se \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) for racional, temos um irracional que elevado a um irracional dá um racional.
Se, por outro lado, \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) for irracional, como:
\[
(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{3}^{2} = 3
\]
temos um exemplo de irracional elevado a irracional que resulta em racional.
O argumento acima prova que:
O argumento acima prova que:
(A) \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) é um número irracional.
(B) \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) é um número racional.
(C) existem \(x\) e \(y\) irracionais tais que \(x^y\) é irracional.
(D) existem \(x\) e \(y\) irracionais tais que \(x^y\) é racional.
(E) se \(x\) e \(y\) são irracionais, então \(x^y\) é racional.
Solução Passo a Passo
1º Passo: Temos duas possibilidades:
- \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) é racional
- \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) é irracional
2º Passo: Em cada caso, obtemos um irracional elevado a um irracional que resulta em um número racional.
Conclusão: O argumento prova que existem irracionais \(x\) e \(y\) tais que \(x^y\) é racional.
Resposta: Alternativa D.
📚 Coleção A Matemática do Ensino Médio
Público-alvo: Professores de Matemática, Preparação para o PROFMAT, Amantes da Matemática, Alunos de Olimpíadas e Cursos de Licenciatura e Bacharelado.
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"Artigo escrito por"
Adriano Rocha
Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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